Pré-cálculo Exemplos

$\log_{5} (x - 7) + \log_{5} (x - 4) - \log_{5} (x) = 1$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 7) (x - 4)) - \log_{5} (x) = 1$

Etapa 1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{(x - 7) (x - 4)}{x}) = 1$

Etapa 2

Reescreva $\log_{5} (\frac{(x - 7) (x - 4)}{x}) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{1} = \frac{(x - 7) (x - 4)}{x}$

Etapa 3

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$(x - 7) (x - 4) = 5 (x)$

Etapa 4

Multiplique $5$ por $x$ .

$(x - 7) (x - 4) = 5 x$

Etapa 5

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.1

Subtraia $5 x$ dos dois lados da equação.

$(x - 7) (x - 4) - 5 x = 0$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Expanda $(x - 7) (x - 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x - 4) - 7 (x - 4) - 5 x = 0$

Etapa 5.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 4 - 7 (x - 4) - 5 x = 0$

Etapa 5.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 4 - 7 x - 7 \cdot - 4 - 5 x = 0$

Etapa 5.2.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 4 - 7 x - 7 \cdot - 4 - 5 x = 0$

Etapa 5.2.2.1.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - 4 \cdot x - 7 x - 7 \cdot - 4 - 5 x = 0$

Etapa 5.2.2.1.3

Multiplique $- 7$ por $- 4$ .

$x^{2} - 4 x - 7 x + 28 - 5 x = 0$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $7 x$ de $- 4 x$ .

$x^{2} - 11 x + 28 - 5 x = 0$

Etapa 5.3

Subtraia $5 x$ de $- 11 x$ .

$x^{2} - 16 x + 28 = 0$

Etapa 6

Fatore $x^{2} - 16 x + 28$ usando o método AC.

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Etapa 6.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $28$ e cuja soma é $- 16$ .

$- 14, - 2$

Etapa 6.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 14) (x - 2) = 0$

Etapa 7

Simplifique $(x - 14) (x - 2)$ .

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Etapa 7.1

Expanda $(x - 14) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x - 2) - 14 (x - 2) = 0$

Etapa 7.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 14 (x - 2) = 0$

Etapa 7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 14 x - 14 \cdot - 2 = 0$

Etapa 7.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 - 14 x - 14 \cdot - 2 = 0$

Etapa 7.2.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - 2 \cdot x - 14 x - 14 \cdot - 2 = 0$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 14$ por $- 2$ .

$x^{2} - 2 x - 14 x + 28 = 0$

Etapa 7.2.2

Subtraia $14 x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 16 x + 28 = 0$

Etapa 8

Fatore $x^{2} - 16 x + 28$ usando o método AC.

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Etapa 8.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $28$ e cuja soma é $- 16$ .

$- 14, - 2$

Etapa 8.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 14) (x - 2) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 14 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 10

Defina $x - 14$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $x - 14$ como igual a $0$ .

$x - 14 = 0$

Etapa 10.2

Some $14$ aos dois lados da equação.

$x = 14$

Etapa 11

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 11.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 12

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 14) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 14, 2$

Etapa 13

Exclua as soluções que não tornam $\log_{5} (x - 7) + \log_{5} (x - 4) - \log_{5} (x) = 1$ verdadeira.

$x = 14$