Pré-cálculo Exemplos

$\frac{4 x^{2} + 2 x - 1}{x^{2} (x + 1)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1}$

Etapa 1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x^{2} (x + 1)$ .

$\frac{(4 x^{2} + 2 x - 1) (x^{2} (x + 1))}{x^{2} (x + 1)} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(4 x^{2} + 2 x - 1) (x^{2} (x + 1))}{x^{2} (x + 1)} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(4 x^{2} + 2 x - 1) (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(4 x^{2} + 2 x - 1) (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.4.2

Divida $4 x^{2} + 2 x - 1$ por $1$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = \frac{A (x^{2} (x + 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.5.1.2

Divida $A (x + 1)$ por $1$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A (x + 1) + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A \cdot 1 + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.5.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{B (x^{2} (x + 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.5.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 1.5.4.1

Fatore $x$ de $B (x^{2} (x + 1))$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.5.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.5.4.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.5.4.2.3

Cancele o fator comum.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{x (B (x (x + 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.5.4.2.4

Reescreva a expressão.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.5.4.2.5

Divida $B (x (x + 1))$ por $1$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B (x (x + 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B (x \cdot x + x \cdot 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.5.6

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B (x^{2} + x \cdot 1) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.5.7

Multiplique $x$ por $1$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B (x^{2} + x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.5.8

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B x^{2} + B x + \frac{(C) (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.5.9

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 1.5.9.1

Cancele o fator comum.

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B x^{2} + B x + \frac{C (x^{2} (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 1.5.9.2

Divida $(C) (x^{2})$ por $1$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B x^{2} + B x + (C) (x^{2})$

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B x^{2} + B x + C x^{2}$

Etapa 1.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.6.1

Reordene $B$ e $x$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + A + B x^{2} + B x + C x^{2}$

Etapa 1.6.2

Mova $A$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + B x^{2} + B x + C x^{2} + A$

Etapa 1.6.3

Mova $B x$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = A x + B x^{2} + C x^{2} + B x + A$

Etapa 1.6.4

Mova $A x$ .

$4 x^{2} + 2 x - 1 = B x^{2} + C x^{2} + A x + B x + A$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$4 = B + C$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$2 = A + B$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 1 = A$

Etapa 2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$4 = B + C$

$2 = A + B$

$- 1 = A$

$4 = B + C$

$2 = A + B$

$- 1 = A$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $A = - 1$ .

$A = - 1$

$4 = B + C$

$2 = A + B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 1$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $2 = A + B$ por $- 1$ .

$2 = (- 1) + B$

$A = - 1$

$4 = B + C$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Remova os parênteses.

$2 = - 1 + B$

$A = - 1$

$4 = B + C$

$2 = - 1 + B$

$A = - 1$

$4 = B + C$

$2 = - 1 + B$

$A = - 1$

$4 = B + C$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $2 = - 1 + B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- 1 + B = 2$ .

$- 1 + B = 2$

$A = - 1$

$4 = B + C$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$B = 2 + 1$

$A = - 1$

$4 = B + C$

Etapa 3.3.2.2

Some $2$ e $1$ .

$B = 3$

$A = - 1$

$4 = B + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$4 = B + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$4 = B + C$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $3$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $4 = B + C$ por $3$ .

$4 = (3) + C$

$B = 3$

$A = - 1$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Remova os parênteses.

$4 = 3 + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$4 = 3 + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$4 = 3 + C$

$B = 3$

$A = - 1$

Etapa 3.5

Resolva $C$ em $4 = 3 + C$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $3 + C = 4$ .

$3 + C = 4$

$B = 3$

$A = - 1$

Etapa 3.5.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.5.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$C = 4 - 3$

$B = 3$

$A = - 1$

Etapa 3.5.2.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$C = 1$

$B = 3$

$A = - 1$

$C = 1$

$B = 3$

$A = - 1$

$C = 1$

$B = 3$

$A = - 1$

Etapa 3.6

Resolva o sistema de equações.

$C = 1 B = 3 A = - 1$

Etapa 3.7

Liste todas as soluções.

$C = 1, B = 3, A = - 1$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x} + \frac{1}{x + 1}$