Pré-cálculo Exemplos

$\frac{1}{x^{2} - 1}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Fatore a fração.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Etapa 1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.6.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.7.1.2

Divida $(A) (x - 1)$ por $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.7.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.7.4

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.7.5

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 1.7.5.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.7.5.2

Divida $(B) (x + 1)$ por $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Etapa 1.7.6

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Etapa 1.7.7

Multiplique $B$ por $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Etapa 1.8

Mova $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = - 1 A + B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $0 = A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Etapa 3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = - 1 A + B$ por $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $- 1 (- B) + B$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Multiplique $- 1 (- B)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique $B$ por $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Etapa 3.2.2.1.2

Some $B$ e $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $1 = 2 B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Etapa 3.3.2

Divida cada termo em $2 B = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.3.2.1

Divida cada termo em $2 B = 1$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{1}{2}$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = - B$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$