Pré-cálculo Exemplos

$\sum_{k = 1}^{8} 4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ e ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ de ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Etapa 2.2.2.2.4

Divida ${(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ por $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Etapa 2.2.3

Some $k$ e $0$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - (k - 1)}$

Etapa 2.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k - - 1}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k + 1}$

Etapa 2.2.5

Subtraia $k$ de $k$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

Etapa 2.2.6

Some $0$ e $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

$r = \frac{2}{3}$

Etapa 3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $1$ por $k$ em $4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{1 - 1}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{0}$

Etapa 3.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$a = 4 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

Etapa 3.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 4 \frac{1}{3^{0}}$

Etapa 3.2.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Etapa 3.2.5

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Cancele o fator comum.

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Etapa 3.2.5.2

Reescreva a expressão.

$a = 4 \cdot 1$

Etapa 3.2.6

Multiplique $4$ por $1$ .

$a = 4$

Etapa 4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$4 \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Multiplique $\frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}})$

Etapa 5.1.2

Combine.

$4 \frac{3 (1 - {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{2}{3})}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

Etapa 5.3.3

Reescreva a expressão.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$4 \frac{3 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$4 \frac{3 + 3 (- \frac{2^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2^{8}}{3^{8}}$ para o numerador.

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.3.2

Fatore $3$ de $3^{8}$ .

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.3.3

Cancele o fator comum.

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.3.4

Reescreva a expressão.

$4 \frac{3 + \frac{- 2^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.4

Eleve $2$ à potência de $8$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.5

Eleve $3$ à potência de $7$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.6

Multiplique $- 1$ por $256$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 \frac{3 - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.8

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2187}{2187}$ .

$4 \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.9

Combine $3$ e $\frac{2187}{2187}$ .

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.11.1

Multiplique $3$ por $2187$ .

$4 \frac{\frac{6561 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.4.11.2

Subtraia $256$ de $6561$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Etapa 5.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 - 2}$

Etapa 5.5.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{1}$

Etapa 5.6

Divida $\frac{6305}{2187}$ por $1$ .

$4 (\frac{6305}{2187})$

Etapa 5.7

Multiplique $4 (\frac{6305}{2187})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Combine $4$ e $\frac{6305}{2187}$ .

$\frac{4 \cdot 6305}{2187}$

Etapa 5.7.2

Multiplique $4$ por $6305$ .

$\frac{25220}{2187}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{25220}{2187}$

Forma decimal:

$11.53177869 \dots$

Forma de número misto:

$11 \frac{1163}{2187}$