Pré-cálculo Exemplos

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 12$

$b = 5$

$k = 2$

$h = - 3$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(- 3, 2)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$\sqrt{144 + {(5)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\sqrt{144 + 25}$

Etapa 5.3.3

Some $144$ e $25$ .

$\sqrt{169}$

Etapa 5.3.4

Reescreva $169$ como $13^{2}$ .

$\sqrt{13^{2}}$

Etapa 5.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$13$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(9, 2)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 15, 2)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h \pm a, k)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(9, 2), (- 15, 2)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

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Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(10, 2)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 16, 2)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(10, 2), (- 16, 2)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

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Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}}{12}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{144 + 5^{2}}}{12}$

Etapa 8.3.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{144 + 25}}{12}$

Etapa 8.3.3

Some $144$ e $25$ .

$\frac{\sqrt{169}}{12}$

Etapa 8.3.4

Reescreva $169$ como $13^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13^{2}}}{12}$

Etapa 8.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{13}{12}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

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Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{5^{2}}{13}$

Etapa 9.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{25}{13}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.

$y = \pm \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

Etapa 11

Simplifique para encontrar a primeira assíntota.

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Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

Etapa 11.2

Simplifique $\frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$ .

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$y = \frac{5}{12} \cdot (x + 3) + 2$

Etapa 11.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{5}{12} x + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Etapa 11.2.1.3

Combine $\frac{5}{12}$ e $x$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Etapa 11.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1

Fatore $3$ de $12$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{3 (4)} \cdot 3 + 2$

Etapa 11.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{3 \cdot 4} \cdot 3 + 2$

Etapa 11.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + 2$

Etapa 11.2.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 11.2.3

Combine $2$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Etapa 11.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 2 \cdot 4}{4}$

Etapa 11.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 8}{4}$

Etapa 11.2.5.2

Some $5$ e $8$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}$

Etapa 12

Simplifique para encontrar a segunda assíntota.

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Etapa 12.1

Remova os parênteses.

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

Etapa 12.2

Simplifique $- \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$ .

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Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x + 3) + 2$

Etapa 12.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Etapa 12.2.1.3

Combine $x$ e $\frac{5}{12}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

Etapa 12.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5}{12}$ para o numerador.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{12} \cdot 3 + 2$

Etapa 12.2.1.4.2

Fatore $3$ de $12$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{3 (4)} \cdot 3 + 2$

Etapa 12.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{3 \cdot 4} \cdot 3 + 2$

Etapa 12.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{4} + 2$

Etapa 12.2.1.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.5.1

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$y = - \frac{5 \cdot x}{12} + \frac{- 5}{4} + 2$

Etapa 12.2.1.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + 2$

Etapa 12.2.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 12.2.3

Combine $2$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Etapa 12.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{- 5 + 2 \cdot 4}{4}$

Etapa 12.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{- 5 + 8}{4}$

Etapa 12.2.5.2

Some $- 5$ e $8$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}, y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(- 3, 2)$

Vértices: $(9, 2), (- 15, 2)$

Ponto imaginário: $(10, 2), (- 16, 2)$

Excentricidade: $\frac{13}{12}$

Parâmetro focal: $\frac{25}{13}$

Assíntotas: $y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}$ , $y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

Etapa 15