Pré-cálculo Exemplos

$y^{2} - \frac{x^{2}}{9} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$y^{2} - \frac{x^{2}}{9} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 1$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 + {(3)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{1 + 9}$

Etapa 5.3.3

Some $1$ e $9$ .

$\sqrt{10}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, 1)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, - 1)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h, k \pm a)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(0, 1), (0, - 1)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, \sqrt{10})$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, - \sqrt{10})$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(0, \sqrt{10}), (0, - \sqrt{10})$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(3)}^{2}}}{1}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Divida $\sqrt{{(1)}^{2} + {(3)}^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Etapa 8.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 + {(3)}^{2}}$

Etapa 8.3.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{1 + 9}$

Etapa 8.3.4

Some $1$ e $9$ .

$\sqrt{10}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{3^{2}}{\sqrt{10}}$

Etapa 9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{9}{\sqrt{10}}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $\frac{9}{\sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{9}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Etapa 9.3.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1

Multiplique $\frac{9}{\sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{9 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Etapa 9.3.3.2

Eleve $\sqrt{10}$ à potência de $1$ .

$\frac{9 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Etapa 9.3.3.3

Eleve $\sqrt{10}$ à potência de $1$ .

$\frac{9 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Etapa 9.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{9 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{9 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

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Etapa 9.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{9 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{9 \sqrt{10}}{10^{1}}$

Etapa 9.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{9 \sqrt{10}}{10}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , porque esta hipérbole se abre para cima e para baixo.

$y = \pm \frac{1}{3} x + 0$

Etapa 11

Simplifique $\frac{1}{3} x + 0$ .

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Etapa 11.1

Some $\frac{1}{3} x$ e $0$ .

$y = \frac{1}{3} x$

Etapa 11.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{x}{3}$

Etapa 12

Simplifique $- \frac{1}{3} x + 0$ .

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Etapa 12.1

Some $- \frac{1}{3} x$ e $0$ .

$y = - \frac{1}{3} x$

Etapa 12.2

Combine $x$ e $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3}$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{x}{3}, y = - \frac{x}{3}$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(0, 0)$

Vértices: $(0, 1), (0, - 1)$

Ponto imaginário: $(0, \sqrt{10}), (0, - \sqrt{10})$

Excentricidade: $\sqrt{10}$

Parâmetro focal: $\frac{9 \sqrt{10}}{10}$

Assíntotas: $y = \frac{x}{3}$ , $y = - \frac{x}{3}$

Etapa 15