Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 5$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(4)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 - {(4)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 16}$

Etapa 5.3.3

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\sqrt{25 - 16}$

Etapa 5.3.4

Subtraia $16$ de $25$ .

$\sqrt{9}$

Etapa 5.3.5

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}}$

Etapa 5.3.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$3$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 + 5)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(0, 5)$

Etapa 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 - (5))$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(0, - 5)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 5)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 5)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 5)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 5)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 + 3)$

Etapa 7.3

Simplifique.

$(0, 3)$

Etapa 7.4

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 - (3))$

Etapa 7.6

Simplifique.

$(0, - 3)$

Etapa 7.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(0, 3)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 3)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 3)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 3)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(4)}^{2}}}{5}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 4^{2}}}{5}$

Etapa 8.3.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1 \cdot 16}}{5}$

Etapa 8.3.3

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\frac{\sqrt{25 - 16}}{5}$

Etapa 8.3.4

Subtraia $16$ de $25$ .

$\frac{\sqrt{9}}{5}$

Etapa 8.3.5

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{5}$

Etapa 8.3.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{3}{5}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 5)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 5)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 3)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 3)$

Excentricidade: $\frac{3}{5}$

Etapa 10