Pré-cálculo Exemplos

$\sum_{n = 3}^{8} 15 - 4 n$

Etapa 1

Divida a soma para tornar o valor inicial de $n$ igual a $1$ .

$\sum_{n = 3}^{8} 15 - 4 n = \sum_{n = 1}^{8} 15 - 4 n - \sum_{n = 1}^{2} 15 - 4 n$

Etapa 2

Avalie $\sum_{n = 1}^{8} 15 - 4 n$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{n = 1}^{8} 15 - 4 n = \sum_{n = 1}^{8} 15 - 4 \sum_{n = 1}^{8} n$

Etapa 2.2

Avalie $\sum_{n = 1}^{8} 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

A fórmula da soma de uma constante é:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Etapa 2.2.2

Substitua os valores na fórmula.

$(15) (8)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $15$ por $8$ .

$120$

Etapa 2.3

Avalie $4 \sum_{n = 1}^{8} n$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $1$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Etapa 2.3.2

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(- 4) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Some $8$ e $1$ .

$- 4 \frac{8 \cdot 9}{2}$

Etapa 2.3.3.1.2

Multiplique $8$ por $9$ .

$- 4 (\frac{72}{2})$

Etapa 2.3.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{72}{2}$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 2 \frac{72}{2}$

Etapa 2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- 2 \cdot 72$

Etapa 2.3.3.3

Multiplique $- 2$ por $72$ .

$- 144$

Etapa 2.4

Adicione os resultados das somas.

$120 - 144$

Etapa 2.5

Subtraia $144$ de $120$ .

$- 24$

Etapa 3

Avalie $\sum_{n = 1}^{2} 15 - 4 n$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Expanda a série para cada valor de $n$ .

$15 - 4 \cdot 1 + 15 - 4 \cdot 2$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$15 - 4 + 15 - 4 \cdot 2$

Etapa 3.2.2

Subtraia $4$ de $15$ .

$11 + 15 - 4 \cdot 2$

Etapa 3.2.3

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$11 + 15 - 8$

Etapa 3.2.4

Subtraia $8$ de $15$ .

$11 + 7$

Etapa 3.2.5

Some $11$ e $7$ .

$18$

Etapa 4

Substitua as somas pelos valores encontrados.

$- 24 - 18$

Etapa 5

Subtraia $18$ de $- 24$ .

$- 42$