Pré-cálculo Exemplos

$\frac{1}{x (x^{2} + 1)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{1 (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5.1.2

Divida $A (x^{2} + 1)$ por $1$ .

$1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5.4

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5.4.2

Divida $(B x + C) (x)$ por $1$ .

$1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

Etapa 1.5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

Etapa 1.5.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.1

Mova $x$ .

$1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

Etapa 1.5.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

Etapa 1.6

Mova $A$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = C$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A$

Etapa 2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

Etapa 3.2

Reescreva a equação como $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + B$ por $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Remova os parênteses.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 3.4

Resolva $B$ em $0 = 1 + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 3.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Etapa 3.5

Resolva o sistema de equações.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

Etapa 3.6

Liste todas as soluções.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- 1 x + 0}{x^{2} + 1}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Remova os parênteses.

$\frac{1}{x} + \frac{(- 1) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Etapa 5.2

Some $(- 1) \cdot x$ e $0$ .

$\frac{1}{x} + \frac{(- 1) \cdot x}{x^{2} + 1}$

Etapa 5.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- x}{x^{2} + 1}$