Pré-cálculo Exemplos

$\frac{2^{x} - 2^{- x}}{3} = 4$

Etapa 1

Multiplique os dois lados por $3$ .

$\frac{2^{x} - 2^{- x}}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2^{x} - 2^{- x}}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

Etapa 2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$2^{x} - 2^{- x} = 4 \cdot 3$

Etapa 2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$2^{x} - 2^{- x} = 12$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva $2^{- x}$ como exponenciação.

$2^{x} - {(2^{x})}^{- 1} = 12$

Etapa 3.2

Substitua $u$ por $2^{x}$ .

$u - u^{- 1} = 12$

Etapa 3.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - \frac{1}{u} = 12$

Etapa 3.4

Resolva $u$ .

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Etapa 3.4.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.4.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, u, 1$

Etapa 3.4.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$u$

Etapa 3.4.2

Multiplique cada termo em $u - \frac{1}{u} = 12$ por $u$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.4.2.1

Multiplique cada termo em $u - \frac{1}{u} = 12$ por $u$ .

$u \cdot u - \frac{1}{u} u = 12 u$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.2.2.1.1

Multiplique $u$ por $u$ .

$u^{2} - \frac{1}{u} u = 12 u$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $u$ .

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Etapa 3.4.2.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{u}$ para o numerador.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 12 u$

Etapa 3.4.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 12 u$

Etapa 3.4.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$u^{2} - 1 = 12 u$

Etapa 3.4.3

Resolva a equação.

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Etapa 3.4.3.1

Subtraia $12 u$ dos dois lados da equação.

$u^{2} - 1 - 12 u = 0$

Etapa 3.4.3.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.4.3.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 12$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.3.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.3.4.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 3.4.3.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.4.1.3

Some $144$ e $4$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{148}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.4.1.4

Reescreva $148$ como $2^{2} \cdot 37$ .

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Etapa 3.4.3.4.1.4.1

Fatore $4$ de $148$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{4 (37)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$

Etapa 3.4.3.4.3

Simplifique $\frac{12 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$ .

$u = 6 \pm \sqrt{37}$

Etapa 3.4.3.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = 6 + \sqrt{37}, 6 - \sqrt{37}$

Etapa 3.5

Substitua $6 + \sqrt{37}$ por $u$ em $u = 2^{x}$ .

$6 + \sqrt{37} = 2^{x}$

Etapa 3.6

Resolva $6 + \sqrt{37} = 2^{x}$ .

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Etapa 3.6.1

Reescreva a equação como $2^{x} = 6 + \sqrt{37}$ .

$2^{x} = 6 + \sqrt{37}$

Etapa 3.6.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{x}) = \ln (6 + \sqrt{37})$

Etapa 3.6.3

Expanda $\ln (2^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (2) = \ln (6 + \sqrt{37})$

Etapa 3.6.4

Divida cada termo em $x \ln (2) = \ln (6 + \sqrt{37})$ por $\ln (2)$ e simplifique.

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Etapa 3.6.4.1

Divida cada termo em $x \ln (2) = \ln (6 + \sqrt{37})$ por $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

Etapa 3.6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

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Etapa 3.6.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

Etapa 3.6.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

Etapa 3.7

Substitua $6 - \sqrt{37}$ por $u$ em $u = 2^{x}$ .

$6 - \sqrt{37} = 2^{x}$

Etapa 3.8

Resolva $6 - \sqrt{37} = 2^{x}$ .

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Etapa 3.8.1

Reescreva a equação como $2^{x} = 6 - \sqrt{37}$ .

$2^{x} = 6 - \sqrt{37}$

Etapa 3.8.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{x}) = \ln (6 - \sqrt{37})$

Etapa 3.8.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (6 - \sqrt{37})$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 3.8.4

Não há uma solução para $2^{x} = 6 - \sqrt{37}$

Nenhuma solução

Etapa 3.9

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{\ln (6 + \sqrt{37})}{\ln (2)}$

Forma decimal:

$x = 3.59487843 \dots$