Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 8$

$b = 6$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(8)}^{2} + {(6)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\sqrt{64 + {(6)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\sqrt{64 + 36}$

Etapa 5.3.3

Some $64$ e $36$ .

$\sqrt{100}$

Etapa 5.3.4

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$\sqrt{10^{2}}$

Etapa 5.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$10$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(8, 0)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 8, 0)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h \pm a, k)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(8, 0), (- 8, 0)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(10, 0)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 10, 0)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(10, 0), (- 10, 0)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(8)}^{2} + {(6)}^{2}}}{8}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{64 + 6^{2}}}{8}$

Etapa 8.3.1.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{64 + 36}}{8}$

Etapa 8.3.1.3

Some $64$ e $36$ .

$\frac{\sqrt{100}}{8}$

Etapa 8.3.1.4

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$\frac{\sqrt{10^{2}}}{8}$

Etapa 8.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{10}{8}$

Etapa 8.3.2

Cancele o fator comum de $10$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{2 (5)}{8}$

Etapa 8.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Etapa 8.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Etapa 8.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{4}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{6^{2}}{10}$

Etapa 9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{36}{10}$

Etapa 9.3.2

Cancele o fator comum de $36$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Fatore $2$ de $36$ .

$\frac{2 (18)}{10}$

Etapa 9.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.2.1

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{18}{5}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.

$y = \pm \frac{3}{4} x + 0$

Etapa 11

Simplifique $\frac{3}{4} x + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Some $\frac{3}{4} x$ e $0$ .

$y = \frac{3}{4} x$

Etapa 11.2

Combine $\frac{3}{4}$ e $x$ .

$y = \frac{3 x}{4}$

Etapa 12

Simplifique $- \frac{3}{4} x + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Some $- \frac{3}{4} x$ e $0$ .

$y = - \frac{3}{4} x$

Etapa 12.2

Combine $x$ e $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4}$

Etapa 12.3

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4}$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{3 x}{4}, y = - \frac{3 x}{4}$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(0, 0)$

Vértices: $(8, 0), (- 8, 0)$

Ponto imaginário: $(10, 0), (- 10, 0)$

Excentricidade: $\frac{5}{4}$

Parâmetro focal: $\frac{18}{5}$

Assíntotas: $y = \frac{3 x}{4}$ , $y = - \frac{3 x}{4}$

Etapa 15