Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 6 x^{3} - 3$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 6 x^{3} - 3$ como uma equação.

$y = 6 x^{3} - 3$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 6 y^{3} - 3$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $6 y^{3} - 3 = x$ .

$6 y^{3} - 3 = x$

Etapa 3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$6 y^{3} = x + 3$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $6 y^{3} = x + 3$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $6 y^{3} = x + 3$ por $6$ .

$\frac{6 y^{3}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 y^{3}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Fatore $3$ de $3$ .

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{3 (1)}{6}$

Etapa 3.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Etapa 3.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Etapa 3.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{1}{2}$

Etapa 3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique $\sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.5.1

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 3.5.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.5.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}}$

Etapa 3.5.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{3}{6}}$

Etapa 3.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 3}{6}}$

Etapa 3.5.4

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{x + 3}{6}}$ como $\frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{6}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{6}}$

Etapa 3.5.5

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{6}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Etapa 3.5.6

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.6.1

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{6}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Etapa 3.5.6.2

Eleve $\sqrt[3]{6}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Etapa 3.5.6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1 + 2}}$

Etapa 3.5.6.4

Some $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{3}}$

Etapa 3.5.6.5

Reescreva ${\sqrt[3]{6}}^{3}$ como $6$ .

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Etapa 3.5.6.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{6}$ como $6^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{(6^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 3.5.6.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 3.5.6.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.5.6.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.5.6.5.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.5.6.5.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{1}}$

Etapa 3.5.6.5.5

Avalie o expoente.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6}$

Etapa 3.5.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.7.1

Reescreva ${\sqrt[3]{6}}^{2}$ como $\sqrt[3]{6^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} \sqrt[3]{6^{2}}}{6}$

Etapa 3.5.7.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} \sqrt[3]{36}}{6}$

Etapa 3.5.8

Simplifique com fatoração.

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Etapa 3.5.8.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 3) \cdot 36}}{6}$

Etapa 3.5.8.2

Reordene os fatores em $\frac{\sqrt[3]{(x + 3) \cdot 36}}{6}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}$ é o inverso de $f (x) = 6 x^{3} - 3$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (6 x^{3} - 3)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{36 ((6 x^{3} - 3) + 3)}}{6}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.3.1

Some $- 3$ e $3$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x^{3} + 0)}}{6}$

Etapa 5.2.3.2

Some $6 x^{3}$ e $0$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{36 \cdot (6 x^{3})}}{6}$

Etapa 5.2.3.3

Multiplique $36$ por $6$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{216 x^{3}}}{6}$

Etapa 5.2.3.4

Reescreva $216 x^{3}$ como ${(6 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{{(6 x)}^{3}}}{6}$

Etapa 5.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{6 x}{6}$

Etapa 5.2.4

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = \frac{6 x}{6}$

Etapa 5.2.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 3) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 {(\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6})}^{3} - 3$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}^{3}}{6^{3}}) - 3$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Reescreva ${\sqrt[3]{36 (x + 3)}}^{3}$ como $36 (x + 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{36 (x + 3)}$ como ${(36 (x + 3))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{{({(36 (x + 3))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{6^{3}}) - 3$

Etapa 5.3.3.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 3))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{6^{3}}) - 3$

Etapa 5.3.3.2.1.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 3))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}) - 3$

Etapa 5.3.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 3))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}) - 3$

Etapa 5.3.3.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 3)}{6^{3}}) - 3$

Etapa 5.3.3.2.1.5

Simplifique.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 3)}{6^{3}}) - 3$

Etapa 5.3.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 36 \cdot 3}{6^{3}}) - 3$

Etapa 5.3.3.2.3

Multiplique $36$ por $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 108}{6^{3}}) - 3$

Etapa 5.3.3.2.4

Fatore $36$ de $36 x + 108$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.4.1

Fatore $36$ de $36 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x) + 108}{6^{3}}) - 3$

Etapa 5.3.3.2.4.2

Fatore $36$ de $108$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 36 \cdot 3}{6^{3}}) - 3$

Etapa 5.3.3.2.4.3

Fatore $36$ de $36 x + 36 \cdot 3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 3)}{6^{3}}) - 3$

Etapa 5.3.3.3

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 3)}{216}) - 3$

Etapa 5.3.3.4

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.4.1

Fatore $6$ de $216$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 3)}{6 (36)}) - 3$

Etapa 5.3.3.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 3)}{6 \cdot 36}) - 3$

Etapa 5.3.3.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = \frac{36 (x + 3)}{36} - 3$

Etapa 5.3.3.5

Cancele o fator comum de $36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.5.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = \frac{36 (x + 3)}{36} - 3$

Etapa 5.3.3.5.2

Divida $x + 3$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = x + 3 - 3$

Etapa 5.3.4

Combine os termos opostos em $x + 3 - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = x + 0$

Etapa 5.3.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}$ é o inverso de $f (x) = 6 x^{3} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 3)}}{6}$