Pré-cálculo Exemplos

$\frac{{(x + h)}^{- 2} - x^{- 2}}{h}$

Etapa 1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(x + h)}^{- 2}$ como ${({(x + h)}^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{{({(x + h)}^{- 1})}^{2} - x^{- 2}}{h}$

Etapa 1.2

Reescreva $x^{- 2}$ como ${(x^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{{({(x + h)}^{- 1})}^{2} - {(x^{- 1})}^{2}}{h}$

Etapa 1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = {(x + h)}^{- 1}$ e $b = x^{- 1}$ .

$\frac{({(x + h)}^{- 1} + x^{- 1}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(\frac{1}{x + h} + x^{- 1}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(\frac{1}{x + h} + \frac{1}{x}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Etapa 1.4.3

Para escrever $\frac{1}{x + h}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Etapa 1.4.4

Para escrever $\frac{1}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Etapa 1.4.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + h) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.4.5.1

Multiplique $\frac{1}{x + h}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Etapa 1.4.5.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{x + h}{x (x + h)}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Etapa 1.4.5.3

Reordene os fatores de $(x + h) x$ .

$\frac{(\frac{x}{x (x + h)} + \frac{x + h}{x (x + h)}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Etapa 1.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{x + x + h}{x (x + h)} ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Etapa 1.4.7

Some $x$ e $x$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

Etapa 1.4.8

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} - x^{- 1})}{h}$

Etapa 1.4.9

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Etapa 1.4.10

Para escrever $\frac{1}{x + h}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x})}{h}$

Etapa 1.4.11

Para escrever $- \frac{1}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

Etapa 1.4.12

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + h) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.4.12.1

Multiplique $\frac{1}{x + h}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

Etapa 1.4.12.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

Etapa 1.4.12.3

Reordene os fatores de $(x + h) x$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

Etapa 1.4.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 1.4.14

Reescreva $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 1.4.14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 1.4.14.2

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 1.4.14.3

Subtraia $h$ de $0$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot - 1 \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 1.6

Combine expoentes.

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Etapa 1.6.1

Fatore o negativo.

$\frac{- (\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

Etapa 1.6.2

Multiplique $\frac{2 x + h}{x (x + h)}$ por $\frac{h}{x (x + h)}$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x (x + h) (x (x + h))}}{h}$

Etapa 1.6.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1} x (x + h) (x + h)}}{h}$

Etapa 1.6.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1} x^{1} (x + h) (x + h)}}{h}$

Etapa 1.6.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1 + 1} (x + h) (x + h)}}{h}$

Etapa 1.6.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} (x + h) (x + h)}}{h}$

Etapa 1.6.7

Eleve $x + h$ à potência de $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ({(x + h)}^{1} (x + h))}}{h}$

Etapa 1.6.8

Eleve $x + h$ à potência de $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ({(x + h)}^{1} {(x + h)}^{1})}}{h}$

Etapa 1.6.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{1 + 1}}}{h}$

Etapa 1.6.10

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 3

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 3.2

Fatore $h$ de $- (2 x + h) h$ .

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Etapa 4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$