Pré-cálculo Exemplos

$\sec (\arcsin (x - 1))$

Etapa 1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, x - 1)$ , $(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, 0)$ e a origem. Então, $\arcsin (x - 1)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, x - 1)$ . Portanto, $\sec (\arcsin (x - 1))$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Etapa 2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}}$

Etapa 2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x - 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x - 1) (1 - (x - 1))}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{(x + 0) (1 - (x - 1))}}$

Etapa 2.3.2

Some $x$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (1 - (x - 1))}}$

Etapa 2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{x (1 - x - - 1)}}$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (1 - x + 1)}}$

Etapa 2.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$

Etapa 3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ por $\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}} \cdot \frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$

Etapa 4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ por $\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)} \sqrt{x (- x + 2)}}$

Etapa 4.2

Eleve $\sqrt{x (- x + 2)}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1} \sqrt{x (- x + 2)}}$

Etapa 4.3

Eleve $\sqrt{x (- x + 2)}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1} {\sqrt{x (- x + 2)}}^{1}}$

Etapa 4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1 + 1}}$

Etapa 4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{2}}$

Etapa 4.6

Reescreva ${\sqrt{x (- x + 2)}}^{2}$ como $x (- x + 2)$ .

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Etapa 4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x (- x + 2)}$ como ${(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{({(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{1}}$

Etapa 4.6.5

Simplifique.

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- x + 2)}$

Etapa 5

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x) + 2)}$

Etapa 6

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x) - 1 (- 2))}$

Etapa 7

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x - 2))}$

Etapa 8

Reescreva os negativos.

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Etapa 8.1

Reescreva $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- 1 (x - 2))}$

Etapa 8.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (x - 2)}$