Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x + 2}{x + 3} < \frac{x - 1}{x - 2}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{x - 1}{x - 2}$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 2} < 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 2}$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{x + 2}{x + 3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} < 0$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{x - 1}{x - 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 3) (x - 2)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{x + 2}{x + 3}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{x - 1}{x - 2}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 3)} < 0$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x + 2) (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Expanda $(x + 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.5.2

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Etapa 2.5.2.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.5.2.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.5.2.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$\frac{x \cdot x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.5.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.5.3.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 + (- x - - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.5.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 + (- x + 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.5.6

Expanda $(- x + 1) (x + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.5.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 - x (x + 3) + 1 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.5.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 3 + 1 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.5.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.5.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.5.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.7.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x \cdot x) - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.5.7.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.5.7.1.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.5.7.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.5.7.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.5.7.2

Some $- 3 x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.5.8

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{0 - 4 - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.5.9

Subtraia $4$ de $0$ .

$\frac{- 4 - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.5.10

Some $- 4$ e $3$ .

$\frac{- 2 x - 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.6

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.7

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.8

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x + 1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.9

Reescreva $- (2 x + 1)$ como $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$2 x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 5

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 6

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 7

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 8

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - \frac{1}{2}$

$x = - 3$

$x = 2$

Etapa 9

Consolide as soluções.

$x = - \frac{1}{2}, - 3, 2$

Etapa 10

Encontre o domínio de $- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)}$ .

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Etapa 10.1

Defina o denominador em $\frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(x + 3) (x - 2) = 0$

Etapa 10.2

Resolva $x$ .

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Etapa 10.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 10.2.2

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.2.2.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 10.2.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 10.2.3

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.2.3.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 10.2.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 10.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 3) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - 3, 2$

Etapa 10.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 2$

$x > 2$

Etapa 12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 12.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 12.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{(- 6) + 2}{(- 6) + 3} < \frac{(- 6) - 1}{(- 6) - 2}$

Etapa 12.1.3

O lado esquerdo $1.\overline{3}$ não é menor do que o lado direito $0.875$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < - \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < - \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 12.2.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{(- 2) + 2}{(- 2) + 3} < \frac{(- 2) - 1}{(- 2) - 2}$

Etapa 12.2.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $0.75$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.3

Teste um valor no intervalo $- \frac{1}{2} < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.3.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{1}{2} < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 12.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) + 2}{(0) + 3} < \frac{(0) - 1}{(0) - 2}$

Etapa 12.3.3

O lado esquerdo $0.\overline{6}$ não é menor do que o lado direito $0.5$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.4

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 12.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{(4) + 2}{(4) + 3} < \frac{(4) - 1}{(4) - 2}$

Etapa 12.4.3

O lado esquerdo $0.\overline{857142}$ é menor do que o lado direito $1.5$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{1}{2} < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{1}{2} < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

Etapa 13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ ou $x > 2$

Etapa 14

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- 3, - \frac{1}{2}) \cup (2, \infty)$

Etapa 15