Pré-cálculo Exemplos

$\sqrt{x} + \sqrt{2 x} = 1$

Etapa 1

Subtraia $\sqrt{2 x}$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{x} = 1 - \sqrt{2 x}$

Etapa 2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{x}}^{2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Etapa 3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique.

$x = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique ${(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Reescreva ${(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$ como $(1 - \sqrt{2 x}) (1 - \sqrt{2 x})$ .

$x = (1 - \sqrt{2 x}) (1 - \sqrt{2 x})$

Etapa 3.3.1.2

Expanda $(1 - \sqrt{2 x}) (1 - \sqrt{2 x})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = 1 (1 - \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} (1 - \sqrt{2 x})$

Etapa 3.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x = 1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} (1 - \sqrt{2 x})$

Etapa 3.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = 1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} \cdot 1 - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

Etapa 3.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$x = 1 + 1 (- \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} \cdot 1 - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

Etapa 3.3.1.3.1.2

Multiplique $- \sqrt{2 x}$ por $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} \cdot 1 - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

Etapa 3.3.1.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

Etapa 3.3.1.3.1.4

Multiplique $- \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + 1 \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Etapa 3.3.1.3.1.4.2

Multiplique $\sqrt{2 x}$ por $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Etapa 3.3.1.3.1.4.3

Eleve $\sqrt{2 x}$ à potência de $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x}$

Etapa 3.3.1.3.1.4.4

Eleve $\sqrt{2 x}$ à potência de $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1}$

Etapa 3.3.1.3.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1 + 1}$

Etapa 3.3.1.3.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{2}$

Etapa 3.3.1.3.1.5

Reescreva ${\sqrt{2 x}}^{2}$ como $2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 3.3.1.3.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 3.3.1.3.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 3.3.1.3.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 3.3.1.3.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{1}$

Etapa 3.3.1.3.1.5.5

Simplifique.

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + 2 x$

Etapa 3.3.1.3.2

Subtraia $\sqrt{2 x}$ de $- \sqrt{2 x}$ .

$x = 1 - 2 \sqrt{2 x} + 2 x$

Etapa 4

Resolva $- 2 \sqrt{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva a equação como $1 - 2 \sqrt{2 x} + 2 x = x$ .

$1 - 2 \sqrt{2 x} + 2 x = x$

Etapa 4.2

Mova todos os termos que não contêm $- 2 \sqrt{2 x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sqrt{2 x} + 2 x = x - 1$

Etapa 4.2.2

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sqrt{2 x} = x - 1 - 2 x$

Etapa 4.2.3

Subtraia $2 x$ de $x$ .

$- 2 \sqrt{2 x} = - x - 1$

Etapa 5

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(- 2 \sqrt{2 x})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Etapa 6

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique ${(- 2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

${(- 2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.2.1

Fatore o negativo.

${(- (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2.2

Eleve $2$ à potência de $1$ .

${(- (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(- 2^{1 + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

${(- 2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(- 2^{\frac{2 + 1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2.6

Some $2$ e $1$ .

${(- 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.3

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1

Aplique a regra do produto a $- 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.3.2

Aplique a regra do produto a $- 2^{\frac{3}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.6

Multiplique os expoentes em ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.6.2.1

Cancele o fator comum.

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.6.2.2

Reescreva a expressão.

$2^{3} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.7

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.8

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.8.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.8.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.8.2.1

Cancele o fator comum.

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.8.2.2

Reescreva a expressão.

$8 x^{1} = {(- x - 1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.9

Simplifique.

$8 x = {(- x - 1)}^{2}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Simplifique ${(- x - 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Reescreva ${(- x - 1)}^{2}$ como $(- x - 1) (- x - 1)$ .

$8 x = (- x - 1) (- x - 1)$

Etapa 6.3.1.2

Expanda $(- x - 1) (- x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x = - x (- x - 1) - 1 (- x - 1)$

Etapa 6.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x = - x (- x) - x \cdot - 1 - 1 (- x - 1)$

Etapa 6.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x = - x (- x) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Etapa 6.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 x = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Etapa 6.3.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$8 x = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Etapa 6.3.1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$8 x = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Etapa 6.3.1.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$8 x = 1 x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Etapa 6.3.1.3.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$8 x = x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Etapa 6.3.1.3.1.5

Multiplique $- x \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.3.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$8 x = x^{2} + 1 x - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Etapa 6.3.1.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$8 x = x^{2} + x - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

Etapa 6.3.1.3.1.6

Multiplique $- 1 (- x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.3.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$8 x = x^{2} + x + 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 6.3.1.3.1.6.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$8 x = x^{2} + x + x - 1 \cdot - 1$

Etapa 6.3.1.3.1.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$8 x = x^{2} + x + x + 1$

Etapa 6.3.1.3.2

Some $x$ e $x$ .

$8 x = x^{2} + 2 x + 1$

Etapa 7

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$x^{2} + 2 x + 1 = 8 x$

Etapa 7.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Subtraia $8 x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 2 x + 1 - 8 x = 0$

Etapa 7.2.2

Subtraia $8 x$ de $2 x$ .

$x^{2} - 6 x + 1 = 0$

Etapa 7.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 6$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.3

Subtraia $4$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.4

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1.4.1

Fatore $16$ de $32$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.5.3

Simplifique $\frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Etapa 7.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 3 + 2 \sqrt{2}, 3 - 2 \sqrt{2}$

Etapa 8

Exclua as soluções que não tornam $\sqrt{x} + \sqrt{2 x} = 1$ verdadeira.

$x = 3 - 2 \sqrt{2}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = 3 - 2 \sqrt{2}$

Forma decimal:

$x = 0.17157287 \dots$