Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ como uma equação.

$y = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{4^{y}}{1 + 4^{y}}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$ .

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados por $1 + 4^{y}$ .

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum de $1 + 4^{y}$ .

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Etapa 3.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

Etapa 3.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$4^{y} = x (1 + 4^{y})$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique $x (1 + 4^{y})$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4^{y} = x \cdot 1 + x \cdot 4^{y}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.2.1.2.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Reordene $x$ e $4^{y}$ .

$4^{y} = x + 4^{y} \cdot x$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.4.1

Reordene os fatores em $x + 4^{y} x$ .

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

Etapa 3.4.2

Subtraia $x \cdot 4^{y}$ dos dois lados da equação.

$4^{y} - x \cdot 4^{y} = x$

Etapa 3.4.3

Fatore $4^{y}$ de $4^{y} - x \cdot 4^{y}$ .

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Etapa 3.4.3.1

Multiplique por $1$ .

$4^{y} \cdot 1 - x \cdot 4^{y} = x$

Etapa 3.4.3.2

Fatore $4^{y}$ de $- x \cdot 4^{y}$ .

$4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x) = x$

Etapa 3.4.3.3

Fatore $4^{y}$ de $4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x)$ .

$4^{y} (1 - x) = x$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $4^{y} (1 - x) = x$ por $1 - x$ e simplifique.

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Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $4^{y} (1 - x) = x$ por $1 - x$ .

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $4^{y}$ por $1$ .

$4^{y} = \frac{x}{1 - x}$

Etapa 3.4.5

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (4^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

Etapa 3.4.6

Expanda $\ln (4^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

Etapa 3.4.7

Divida cada termo em $y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ por $\ln (4)$ e simplifique.

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Etapa 3.4.7.1

Divida cada termo em $y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ por $\ln (4)$ .

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Etapa 3.4.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.7.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (4)$ .

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Etapa 3.4.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Etapa 3.4.7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ é o inverso de $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{1 - (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})})}{\ln (4)}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x}}{1 + 4^{x}} - \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Etapa 5.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Etapa 5.2.3.3

Reescreva $\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.2.3.3.1

Subtraia $4^{x}$ de $4^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 0}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Etapa 5.2.3.3.2

Some $1$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

Etapa 5.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.4.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

Etapa 5.2.4.2

Cancele o fator comum de $1 + 4^{x}$ .

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Etapa 5.2.4.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

Etapa 5.2.4.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (4^{x})}{\ln (4)}$

Etapa 5.2.5

Expanda $\ln (4^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Etapa 5.2.6

Cancele o fator comum de $\ln (4)$ .

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Etapa 5.2.6.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

Etapa 5.2.6.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.3.1

Use a regra da mudança de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

Etapa 5.3.3.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

Etapa 5.3.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.4.1

Use a regra da mudança de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}$

Etapa 5.3.4.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + \frac{x}{1 - x}}$

Etapa 5.3.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}}$

Etapa 5.3.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x + x}{1 - x}}$

Etapa 5.3.4.5

Reescreva $\frac{1 - x + x}{1 - x}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.3.4.5.1

Some $- x$ e $x$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 + 0}{1 - x}}$

Etapa 5.3.4.5.2

Some $1$ e $0$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1}{1 - x}}$

Etapa 5.3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Etapa 5.3.6

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

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Etapa 5.3.6.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Etapa 5.3.6.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ é o inverso de $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$