Pré-cálculo Exemplos

e^{x} - 6 e^{- x} - 1 = 0

$e^{x} - 6 e^{- x} - 1 = 0$

Etapa 1

Reescreva

e^{- x}

$e^{- x}$ como exponenciação.

e^{x} - 6 {(e^{x})}^{- 1} - 1 = 0

$e^{x} - 6 {(e^{x})}^{- 1} - 1 = 0$

Etapa 2

Substitua

u

$u$ por

e^{x}

$e^{x}$ .

u - 6 u^{- 1} - 1 = 0

$u - 6 u^{- 1} - 1 = 0$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

u - 6 \frac{1}{u} - 1 = 0

$u - 6 \frac{1}{u} - 1 = 0$

Etapa 3.2

Combine

- 6

$- 6$ e

\frac{1}{u}

$\frac{1}{u}$ .

u + \frac{- 6}{u} - 1 = 0

$u + \frac{- 6}{u} - 1 = 0$

Etapa 3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

u - \frac{6}{u} - 1 = 0

$u - \frac{6}{u} - 1 = 0$

u - \frac{6}{u} - 1 = 0

$u - \frac{6}{u} - 1 = 0$

Etapa 4

Resolva

u

$u$ .

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Etapa 4.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 4.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

1, u, 1, 1

$1, u, 1, 1$

Etapa 4.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

u

$u$

u

$u$

Etapa 4.2

Multiplique cada termo em

u - \frac{6}{u} - 1 = 0

$u - \frac{6}{u} - 1 = 0$ por

u

$u$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Multiplique cada termo em

u - \frac{6}{u} - 1 = 0

$u - \frac{6}{u} - 1 = 0$ por

u

$u$ .

u \cdot u - \frac{6}{u} u - u = 0 u

$u \cdot u - \frac{6}{u} u - u = 0 u$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique

u

$u$ por

u

$u$ .

u^{2} - \frac{6}{u} u - u = 0 u

$u^{2} - \frac{6}{u} u - u = 0 u$

Etapa 4.2.2.1.2

Cancele o fator comum de

u

$u$ .

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Etapa 4.2.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em

- \frac{6}{u}

$- \frac{6}{u}$ para o numerador.

u^{2} + \frac{- 6}{u} u - u = 0 u

$u^{2} + \frac{- 6}{u} u - u = 0 u$

Etapa 4.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$u^{2} + \frac{- 6}{u} u - u = 0 u$

Etapa 4.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$u^{2} - 6 - u = 0 u$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

Multiplique

$0$ por

$u$ .

$u^{2} - 6 - u = 0$

Etapa 4.3

Resolva a equação.

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Etapa 4.3.1

Fatore

$u^{2} - 6 - u$ usando o método AC.

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Etapa 4.3.1.1

Considere a forma

$x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é

$c$ e cuja soma é

$b$ . Neste caso, cujo produto é

$- 6$ e cuja soma é

$- 1$ .

$- 3, 2$

Etapa 4.3.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 3) (u + 2) = 0$

Etapa 4.3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a

$0$ , toda a expressão será igual a

$0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 2 = 0$

Etapa 4.3.3

Defina

$u - 3$ como igual a

$0$ e resolva para

$u$ .

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Etapa 4.3.3.1

Defina

$u - 3$ como igual a

$0$ .

$u - 3 = 0$

Etapa 4.3.3.2

Some

$3$ aos dois lados da equação.

$u = 3$

Etapa 4.3.4

Defina

$u + 2$ como igual a

$0$ e resolva para

$u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Defina

$u + 2$ como igual a

$0$ .

$u + 2 = 0$

Etapa 4.3.4.2

Subtraia

$2$ dos dois lados da equação.

$u = - 2$

Etapa 4.3.5

A solução final são todos os valores que tornam

$(u - 3) (u + 2) = 0$ verdadeiro.

$u = 3, - 2$

Etapa 5

Substitua

$3$ por

$u$ em

$u = e^{x}$ .

$3 = e^{x}$

Etapa 6

Resolva

$3 = e^{x}$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como

$e^{x} = 3$ .

$e^{x} = 3$

Etapa 6.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Etapa 6.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.1

Expanda

$\ln (e^{x})$ movendo

$x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Etapa 6.3.2

O logaritmo natural de

$e$ é

$1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Etapa 6.3.3

Multiplique

$x$ por

$1$ .

$x = \ln (3)$

Etapa 7

Substitua

$- 2$ por

$u$ em

$u = e^{x}$ .

$- 2 = e^{x}$

Etapa 8

Resolva

$- 2 = e^{x}$ .

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Etapa 8.1

Reescreva a equação como

$e^{x} = - 2$ .

$e^{x} = - 2$

Etapa 8.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 2)$

Etapa 8.3

Não é possível resolver a equação, porque

$\ln (- 2)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 8.4

Não há uma solução para

$e^{x} = - 2$

Nenhuma solução

Etapa 9

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \ln (3)$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \ln (3)$

Forma decimal:

$x = 1.09861228 \dots$