Pré-cálculo Exemplos

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Step 1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$2 x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Step 2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

O valor exato de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ é $\frac{π}{4}$ .

$2 x = \frac{π}{4}$

Step 3

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{4}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Multiplique $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{π}{8}$

Step 4

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{4}$

Step 5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Multiplique $4$ por $2$ .

$2 x = \frac{8 π - π}{4}$

Subtraia $π$ de $8 π$ .

$2 x = \frac{7 π}{4}$

Divida cada termo em $2 x = \frac{7 π}{4}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $2 x = \frac{7 π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Multiplique $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $\frac{7 π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 2}$

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{7 π}{8}$

Step 6

Encontre o período de $\cos (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Step 7

O período da função $\cos (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$