Pré-cálculo Exemplos

$\sin (2 x) + \cos (x) = 0$

Step 1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$2 \sin (x) \cos (x) + \cos (x) = 0$

Step 2

Fatore $\cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x) + \cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $\cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{1} (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 = 0$

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$

Step 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Step 4

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Resolva $\cos (x) = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Encontre o período de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Step 5

Defina $2 \sin (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $2 \sin (x) + 1$ como igual a $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Resolva $2 \sin (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 \sin (x) = - 1$

Divida cada termo em $2 \sin (x) = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Divida cada termo em $2 \sin (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Simplifique o lado direito.

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O valor exato de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ é $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Some $2 π$ com $- \frac{π}{6}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Step 6

A solução final são todos os valores que tornam $\cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Step 7

Consolide $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ em $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$