Pré-cálculo Exemplos

2 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) + 1 = 0

$2 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) + 1 = 0$

Step 1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Para um polinômio da forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é

a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2

$a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ e cuja soma é

b = - 3

$b = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore

- 3

$- 3$ de

- 3 \sin (x)

$- 3 \sin (x)$ .

2 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) + 1 = 0

$2 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) + 1 = 0$

Reescreva

- 3

$- 3$ como

- 1

$- 1$ mais

- 2

$- 2$

2 \sin^{2} (x) + (- 1 - 2) \sin (x) + 1 = 0

$2 \sin^{2} (x) + (- 1 - 2) \sin (x) + 1 = 0$

Aplique a propriedade distributiva.

2 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0

$2 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$

2 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0

$2 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

2 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0

$2 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

\sin (x) (2 \sin (x) - 1) - (2 \sin (x) - 1) = 0

$\sin (x) (2 \sin (x) - 1) - (2 \sin (x) - 1) = 0$

\sin (x) (2 \sin (x) - 1) - (2 \sin (x) - 1) = 0

$\sin (x) (2 \sin (x) - 1) - (2 \sin (x) - 1) = 0$

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum,

2 \sin (x) - 1

$2 \sin (x) - 1$ .

(2 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0

$(2 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0$

(2 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0

$(2 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Step 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a

0

$0$ , toda a expressão será igual a

0

$0$ .

2 \sin (x) - 1 = 0

$2 \sin (x) - 1 = 0$

\sin (x) - 1 = 0

$\sin (x) - 1 = 0$

Step 3

Defina

2 \sin (x) - 1

$2 \sin (x) - 1$ como igual a

0

$0$ e resolva para

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina

2 \sin (x) - 1

$2 \sin (x) - 1$ como igual a

0

$0$ .

2 \sin (x) - 1 = 0

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Resolva

2 \sin (x) - 1 = 0

$2 \sin (x) - 1 = 0$ para

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Some

1

$1$ aos dois lados da equação.

2 \sin (x) = 1

$2 \sin (x) = 1$

Divida cada termo em

2 \sin (x) = 1

$2 \sin (x) = 1$ por

2

$2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em

2 \sin (x) = 1

$2 \sin (x) = 1$ por

2

$2$ .

\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Divida

\sin (x)

$\sin (x)$ por

1

$1$ .

\sin (x) = \frac{1}{2}

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

\sin (x) = \frac{1}{2}

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

\sin (x) = \frac{1}{2}

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

\sin (x) = \frac{1}{2}

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair

x

$x$ de dentro do seno.

x = \arcsin (\frac{1}{2})

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

O valor exato de

\arcsin (\frac{1}{2})

$\arcsin (\frac{1}{2})$ é

\frac{π}{6}

$\frac{π}{6}$ .

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de

π

$π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

x = π - \frac{π}{6}

$x = π - \frac{π}{6}$

Simplifique

π - \frac{π}{6}

$π - \frac{π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Para escrever

π

$π$ como fração com um denominador comum, multiplique por

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Combine

π

$π$ e

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Mova

6

$6$ para a esquerda de

π

$π$ .

x = \frac{6 \cdot π - π}{6}

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Subtraia

π

$π$ de

6 π

$6 π$ .

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

Encontre o período de

\sin (x)

$\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

O período da função pode ser calculado ao usar

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Substitua

b

$b$ por

1

$1$ na fórmula do período.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre

0

$0$ e

1

$1$ é

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Divida

2 π

$2 π$ por

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

O período da função

\sin (x)

$\sin (x)$ é

2 π

$2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada

2 π

$2 π$ radianos nas duas direções.

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

Step 4

Defina

\sin (x) - 1

$\sin (x) - 1$ como igual a

0

$0$ e resolva para

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina

\sin (x) - 1

$\sin (x) - 1$ como igual a

0

$0$ .

\sin (x) - 1 = 0

$\sin (x) - 1 = 0$

Resolva

\sin (x) - 1 = 0

$\sin (x) - 1 = 0$ para

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Some

1

$1$ aos dois lados da equação.

\sin (x) = 1

$\sin (x) = 1$

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair

x

$x$ de dentro do seno.

x = \arcsin (1)

$x = \arcsin (1)$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

O valor exato de

\arcsin (1)

$\arcsin (1)$ é

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de

π

$π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

x = π - \frac{π}{2}

$x = π - \frac{π}{2}$

Simplifique

π - \frac{π}{2}

$π - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Para escrever

π

$π$ como fração com um denominador comum, multiplique por

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Combine

π

$π$ e

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Mova

2

$2$ para a esquerda de

π

$π$ .

x = \frac{2 \cdot π - π}{2}

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Subtraia

π

$π$ de

2 π

$2 π$ .

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

Encontre o período de

\sin (x)

$\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

O período da função pode ser calculado ao usar

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Substitua

b

$b$ por

1

$1$ na fórmula do período.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre

0

$0$ e

1

$1$ é

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Divida

2 π

$2 π$ por

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

O período da função

\sin (x)

$\sin (x)$ é

2 π

$2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada

2 π

$2 π$ radianos nas duas direções.

x = \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

Step 5

A solução final são todos os valores que tornam

(2 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0

$(2 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$