Pré-cálculo Exemplos

$f (t) = 330 {(1.04)}^{30 t}$

Etapa 1

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie a função em $x = t + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável $t$ por $t + h$ na expressão.

$f (t + h) = 330 {(1.04)}^{30 (t + h)}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (t + h) = 330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$ .

$330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (t + h) = 330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$

$f (t) = 330 \cdot {1.04}^{30 t}$

$f (t + h) = 330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$

$f (t) = 330 \cdot {1.04}^{30 t}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$\frac{f (t + h) - f t}{h} = \frac{330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - (330 \cdot {1.04}^{30 t})}{h}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $330$ .

$\frac{330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - 330 \cdot {1.04}^{30 t}}{h}$

Etapa 4.2

Reescreva $330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - 330 \cdot {1.04}^{30 t}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Fatore $330$ de $330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - 330 \cdot {1.04}^{30 t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Fatore $330$ de $330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$ .

$\frac{330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - 330 \cdot {1.04}^{30 t}}{h}$

Etapa 4.2.1.2

Fatore $330$ de $- 330 \cdot {1.04}^{30 t}$ .

$\frac{330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} + 330 (- {1.04}^{30 t})}{h}$

Etapa 4.2.1.3

Fatore $330$ de $330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} + 330 (- {1.04}^{30 t})$ .

$\frac{330 ({1.04}^{30 t + 30 h} - {1.04}^{30 t})}{h}$

Etapa 4.2.2

Reescreva ${1.04}^{30 t + 30 h}$ como ${({1.04}^{10 t + 10 h})}^{3}$ .

$\frac{330 ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{3} - {1.04}^{30 t})}{h}$

Etapa 4.2.3

Reescreva ${1.04}^{30 t}$ como ${({1.04}^{10 t})}^{3}$ .

$\frac{330 ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{3} - {({1.04}^{10 t})}^{3})}{h}$

Etapa 4.2.4

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = {1.04}^{10 t + 10 h}$ e $b = {1.04}^{10 t}$ .

$\frac{330 (({1.04}^{10 t + 10 h} - {1.04}^{10 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h} \cdot {1.04}^{10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

Etapa 4.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Reescreva ${1.04}^{10 t + 10 h}$ como ${({1.04}^{5 t + 5 h})}^{2}$ .

$\frac{330 (({({1.04}^{5 t + 5 h})}^{2} - {1.04}^{10 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h} \cdot {1.04}^{10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

Etapa 4.2.5.2

Reescreva ${1.04}^{10 t}$ como ${({1.04}^{5 t})}^{2}$ .

$\frac{330 (({({1.04}^{5 t + 5 h})}^{2} - {({1.04}^{5 t})}^{2}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h} \cdot {1.04}^{10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

Etapa 4.2.5.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = {1.04}^{5 t + 5 h}$ e $b = {1.04}^{5 t}$ .

$\frac{330 (({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h} \cdot {1.04}^{10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

Etapa 4.2.5.4

Multiplique ${1.04}^{10 t + 10 h}$ por ${1.04}^{10 t}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.4.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{330 (({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h + 10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

Etapa 4.2.5.4.2

Some $10 t$ e $10 t$ .

$\frac{330 (({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

Etapa 4.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1

Multiplique os expoentes em ${({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2}$ .

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Etapa 4.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{(10 t + 10 h) \cdot 2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

Etapa 4.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{10 t \cdot 2 + 10 h \cdot 2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

Etapa 4.3.1.3

Multiplique $2$ por $10$ .

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 10 h \cdot 2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

Etapa 4.3.1.4

Multiplique $2$ por $10$ .

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

Etapa 4.3.2

Multiplique os expoentes em ${({1.04}^{10 t})}^{2}$ .

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Etapa 4.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {1.04}^{10 t \cdot 2})}{h}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $2$ por $10$ .

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {1.04}^{20 t})}{h}$

Etapa 5