Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ , $[2, 4]$

Etapa 1

Escreva $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ como uma equação.

$y = x^{2} - \frac{1}{x}$

Etapa 2

Substitua usando a fórmula da taxa de variação média.

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Etapa 2.1

Para encontrar a taxa de variação média de uma função, calcula-se a variação nos valores de $y$ dos dois pontos e divide-se pela variação nos valores de $x$ dos dois pontos.

$\frac{f (4) - f (2)}{(4) - (2)}$

Etapa 2.2

Substitua a equação $y = x^{2} - \frac{1}{x}$ por $f (4)$ e $f (2)$ , substituindo $x$ na função pelo valor $x$ correspondente.

$\frac{({(4)}^{2} - \frac{1}{4}) - ({(2)}^{2} - \frac{1}{2})}{(4) - (2)}$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $4$ .

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Etapa 3.1.1

Multiplique $\frac{4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2})}{4 - (2)}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} \cdot \frac{4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2})}{4 - (2)}$

Etapa 3.1.2

Combine.

$\frac{4 (4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 (4 - (2))}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (- \frac{1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{4}$ para o numerador.

$\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (\frac{- 1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (\frac{- 1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 \cdot 4^{2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Multiplique $4$ por $4^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1.1

Multiplique $4$ por $4^{2}$ .

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Etapa 3.4.1.1.1

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$\frac{4^{1} \cdot 4^{2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4^{1 + 2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.1.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{4^{3} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- (4 - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.4

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- (4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.5

Combine $4$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- (\frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{4 \cdot 2 - 1}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.7.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{8 - 1}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.7.2

Subtraia $1$ de $8$ .

$\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{7}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{7}{2}$ para o numerador.

$\frac{64 - 1 + 4 (\frac{- 7}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.8.2

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{64 - 1 + 2 (2) \frac{- 7}{2}}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.8.3

Cancele o fator comum.

$\frac{64 - 1 + 2 \cdot 2 \frac{- 7}{2}}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.8.4

Reescreva a expressão.

$\frac{64 - 1 + 2 \cdot - 7}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.9

Multiplique $2$ por $- 7$ .

$\frac{64 - 1 - 14}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.10

Subtraia $1$ de $64$ .

$\frac{63 - 14}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.11

Subtraia $14$ de $63$ .

$\frac{49}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{49}{16 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $4 (- (2))$ .

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Etapa 3.5.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{49}{16 + 4 \cdot - 2}$

Etapa 3.5.2.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\frac{49}{16 - 8}$

Etapa 3.5.3

Subtraia $8$ de $16$ .

$\frac{49}{8}$