Pré-cálculo Exemplos

f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ ,

[2, 4]

$[2, 4]$

Etapa 1

Escreva

f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ como uma equação.

y = x^{2} - \frac{1}{x}

$y = x^{2} - \frac{1}{x}$

Etapa 2

Substitua usando a fórmula da taxa de variação média.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para encontrar a taxa de variação média de uma função, calcula-se a variação nos valores de

y

$y$ dos dois pontos e divide-se pela variação nos valores de

x

$x$ dos dois pontos.

\frac{f (4) - f (2)}{(4) - (2)}

$\frac{f (4) - f (2)}{(4) - (2)}$

Etapa 2.2

Substitua a equação

y = x^{2} - \frac{1}{x}

$y = x^{2} - \frac{1}{x}$ por

f (4)

$f (4)$ e

f (2)

$f (2)$ , substituindo

x

$x$ na função pelo valor

x

$x$ correspondente.

\frac{({(4)}^{2} - \frac{1}{4}) - ({(2)}^{2} - \frac{1}{2})}{(4) - (2)}

$\frac{({(4)}^{2} - \frac{1}{4}) - ({(2)}^{2} - \frac{1}{2})}{(4) - (2)}$

\frac{({(4)}^{2} - \frac{1}{4}) - ({(2)}^{2} - \frac{1}{2})}{(4) - (2)}

$\frac{({(4)}^{2} - \frac{1}{4}) - ({(2)}^{2} - \frac{1}{2})}{(4) - (2)}$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por

4

$4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Multiplique

\frac{4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2})}{4 - (2)}

$\frac{4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2})}{4 - (2)}$ por

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

\frac{4}{4} \cdot \frac{4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2})}{4 - (2)}

$\frac{4}{4} \cdot \frac{4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2})}{4 - (2)}$

Etapa 3.1.2

Combine.

\frac{4 (4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 (4 - (2))}

$\frac{4 (4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 (4 - (2))}$

\frac{4 (4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 (4 - (2))}

$\frac{4 (4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 (4 - (2))}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (- \frac{1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (- \frac{1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de

4

$4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$ para o numerador.

\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (\frac{- 1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (\frac{- 1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum.

\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (\frac{- 1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (\frac{- 1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.3.3

Reescreva a expressão.

\frac{4 \cdot 4^{2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{4 \cdot 4^{2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

\frac{4 \cdot 4^{2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{4 \cdot 4^{2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Multiplique

4

$4$ por

4^{2}

$4^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Multiplique

4

$4$ por

4^{2}

$4^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1.1

Eleve

4

$4$ à potência de

1

$1$ .

\frac{4^{1} \cdot 4^{2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{4^{1} \cdot 4^{2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

\frac{4^{1 + 2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{4^{1 + 2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

\frac{4^{1 + 2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{4^{1 + 2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.1.2

Some

1

$1$ e

2

$2$ .

\frac{4^{3} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{4^{3} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

\frac{4^{3} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{4^{3} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.2

Eleve

4

$4$ à potência de

3

$3$ .

\frac{64 - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{64 - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.3

Eleve

2

$2$ à potência de

2

$2$ .

\frac{64 - 1 + 4 (- (4 - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{64 - 1 + 4 (- (4 - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.4

Para escrever

4

$4$ como fração com um denominador comum, multiplique por

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{64 - 1 + 4 (- (4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{64 - 1 + 4 (- (4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.5

Combine

4

$4$ e

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\frac{64 - 1 + 4 (- (\frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{64 - 1 + 4 (- (\frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{4 \cdot 2 - 1}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{4 \cdot 2 - 1}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.7.1

Multiplique

4

$4$ por

2

$2$ .

\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{8 - 1}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{8 - 1}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.7.2

Subtraia

1

$1$ de

8

$8$ .

\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{7}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{7}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{7}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{7}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.8

Cancele o fator comum de

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.8.1

Mova o negativo de maior ordem em

- \frac{7}{2}

$- \frac{7}{2}$ para o numerador.

\frac{64 - 1 + 4 (\frac{- 7}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{64 - 1 + 4 (\frac{- 7}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.8.2

Fatore

2

$2$ de

4

$4$ .

\frac{64 - 1 + 2 (2) \frac{- 7}{2}}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{64 - 1 + 2 (2) \frac{- 7}{2}}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.8.3

Cancele o fator comum.

\frac{64 - 1 + 2 \cdot 2 \frac{- 7}{2}}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{64 - 1 + 2 \cdot 2 \frac{- 7}{2}}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.8.4

Reescreva a expressão.

\frac{64 - 1 + 2 \cdot - 7}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{64 - 1 + 2 \cdot - 7}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

\frac{64 - 1 + 2 \cdot - 7}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{64 - 1 + 2 \cdot - 7}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.9

Multiplique

2

$2$ por

- 7

$- 7$ .

\frac{64 - 1 - 14}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{64 - 1 - 14}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.10

Subtraia

1

$1$ de

64

$64$ .

\frac{63 - 14}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{63 - 14}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.4.11

Subtraia

14

$14$ de

63

$63$ .

\frac{49}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{49}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

\frac{49}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}

$\frac{49}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Multiplique

4

$4$ por

4

$4$ .

\frac{49}{16 + 4 (- (2))}

$\frac{49}{16 + 4 (- (2))}$

Etapa 3.5.2

Multiplique

4 (- (2))

$4 (- (2))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

2

$2$ .

\frac{49}{16 + 4 \cdot - 2}

$\frac{49}{16 + 4 \cdot - 2}$

Etapa 3.5.2.2

Multiplique

4

$4$ por

- 2

$- 2$ .

\frac{49}{16 - 8}

$\frac{49}{16 - 8}$

\frac{49}{16 - 8}

$\frac{49}{16 - 8}$

Etapa 3.5.3

Subtraia

8

$8$ de

16

$16$ .

\frac{49}{8}

$\frac{49}{8}$

\frac{49}{8}

$\frac{49}{8}$

\frac{49}{8}

$\frac{49}{8}$