Pré-cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{2} x^{2}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{1}{2} x^{2}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$

Etapa 2

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 3

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot {(x + h)}^{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Reescreva ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot ((x + h) (x + h))$

Etapa 3.1.2.2

Expanda $(x + h) (x + h)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x (x + h) + h (x + h))$

Etapa 3.1.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Etapa 3.1.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Etapa 3.1.2.3.1.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Etapa 3.1.2.3.2

Some $x h$ e $h x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.2.1

Reordene $x$ e $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Etapa 3.1.2.3.2.2

Some $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Etapa 3.1.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2}$

Etapa 3.1.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2}$

Etapa 3.1.2.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.5.2.1

Fatore $2$ de $2 h x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2}$

Etapa 3.1.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2}$

Etapa 3.1.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{1}{2} h^{2}$

Etapa 3.1.2.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2}$

Etapa 3.1.2.6

A resposta final é $\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2}$

Etapa 3.2

Reordene.

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Etapa 3.2.1

Mova $\frac{x^{2}}{2}$ .

$h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2}$

Etapa 3.2.2

Reordene $h x$ e $\frac{h^{2}}{2}$ .

$\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2}$

Etapa 3.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2}$

Etapa 4

Substitua os componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2})}{h}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $\frac{x^{2}}{2}$ de $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + 0}{h}$

Etapa 5.1.2

Some $\frac{h^{2}}{2} + h x$ e $0$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x}{h}$

Etapa 5.1.3

Fatore $h$ de $\frac{h^{2}}{2} + h x$ .

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Etapa 5.1.3.1

Fatore $h$ de $\frac{h^{2}}{2}$ .

$\frac{h \frac{h}{2} + h x}{h}$

Etapa 5.1.3.2

Fatore $h$ de $h x$ .

$\frac{h (\frac{h}{2}) + h (x)}{h}$

Etapa 5.1.3.3

Fatore $h$ de $h (\frac{h}{2}) + h (x)$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + x)}{h}$

Etapa 5.1.4

Para escrever $x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + x \cdot \frac{2}{2})}{h}$

Etapa 5.1.5

Combine $x$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + \frac{x \cdot 2}{2})}{h}$

Etapa 5.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{h \frac{h + x \cdot 2}{2}}{h}$

Etapa 5.1.7

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{h \frac{h + 2 x}{2}}{h}$

Etapa 5.2

Combine $h$ e $\frac{h + 2 x}{2}$ .

$\frac{\frac{h (h + 2 x)}{2}}{h}$

Etapa 5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{h (h + 2 x)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{h (h + 2 x)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{h + 2 x}{2}$

Etapa 6