Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x \ln (x)$ ; $[1, e^{2}]$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 3 x \ln (x)$ como uma equação.

$y = 3 x \ln (x)$

Etapa 2

Substitua usando a fórmula da taxa de variação média.

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Etapa 2.1

Para encontrar a taxa de variação média de uma função, calcula-se a variação nos valores de $y$ dos dois pontos e divide-se pela variação nos valores de $x$ dos dois pontos.

$\frac{f (e^{2}) - f (1)}{(e^{2}) - (1)}$

Etapa 2.2

Substitua a equação $y = 3 x \ln (x)$ por $f (e^{2})$ e $f (1)$ , substituindo $x$ na função pelo valor $x$ correspondente.

$\frac{(3 (e^{2}) \ln (e^{2})) - (3 (1) \ln (1))}{(e^{2}) - (1)}$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.1

Use as regras logarítmicas para mover $2$ para fora do expoente.

$\frac{3 e^{2} (2 \ln (e)) - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Etapa 3.1.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\frac{3 e^{2} (2 \cdot 1) - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Etapa 3.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{3 e^{2} \cdot 2 - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Etapa 3.1.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 e^{2} - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Etapa 3.1.5

Multiplique $- 1 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Etapa 3.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{6 e^{2} - 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Etapa 3.1.5.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{6 e^{2} - 3 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

Etapa 3.1.6

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{6 e^{2} - 3 \cdot 0}{e^{2} - (1)}$

Etapa 3.1.7

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$\frac{6 e^{2} + 0}{e^{2} - (1)}$

Etapa 3.1.8

Some $6 e^{2}$ e $0$ .

$\frac{6 e^{2}}{e^{2} - (1)}$

Etapa 3.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{6 e^{2}}{e^{2} - 1^{2}}$

Etapa 3.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = e$ e $b = 1$ .

$\frac{6 e^{2}}{(e + 1) (e - 1)}$