Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 4 e^{x}$ , $[- 2, 2]$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 4 e^{x}$ como uma equação.

$y = 4 e^{x}$

Etapa 2

Substitua usando a fórmula da taxa de variação média.

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Etapa 2.1

Para encontrar a taxa de variação média de uma função, calcula-se a variação nos valores de $y$ dos dois pontos e divide-se pela variação nos valores de $x$ dos dois pontos.

$\frac{f (2) - f (- 2)}{(2) - (- 2)}$

Etapa 2.2

Substitua a equação $y = 4 e^{x}$ por $f (2)$ e $f (- 2)$ , substituindo $x$ na função pelo valor $x$ correspondente.

$\frac{(4 e^{2}) - (4 e^{- 2})}{(2) - (- 2)}$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.1

Reescreva $4 e^{2}$ como ${(2 e)}^{2}$ .

$\frac{{(2 e)}^{2} - 1 \cdot 4 e^{- 2}}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.2

Reescreva $4 e^{- 2}$ como ${(2 e^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{{(2 e)}^{2} - {(2 e^{- 1})}^{2}}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2 e$ e $b = 2 e^{- 1}$ .

$\frac{(2 e + 2 e^{- 1}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.4

Simplifique.

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Etapa 3.1.4.1

Fatore $2$ de $2 e + 2 e^{- 1}$ .

$\frac{2 (e + e^{- 1}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 (e + \frac{1}{e}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (e + \frac{1}{e}) (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.5

Para escrever $e$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e}{e}$ .

$\frac{2 (\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}) (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 \frac{e e + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.7

Multiplique $e e$ .

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Etapa 3.1.7.1

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{1} e + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.7.2

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{1} e^{1} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \frac{e^{1 + 1} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.7.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.8.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - 2 \frac{1}{e})}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.8.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e + \frac{- 2}{e})}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.8.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - \frac{2}{e})}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.9

Para escrever $2 e$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e}{e}$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (\frac{2 e e}{e} - \frac{2}{e})}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e e - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.11

Multiplique $2 e e$ .

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Etapa 3.1.11.1

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 (e^{1} e) - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.11.2

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 (e^{1} e^{1}) - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.11.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e^{1 + 1} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.11.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e^{2} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.12

Combine expoentes.

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Etapa 3.1.12.1

Combine $2$ e $\frac{e^{2} + 1}{e}$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1)}{e} \cdot \frac{2 e^{2} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.12.2

Multiplique $\frac{2 (e^{2} + 1)}{e}$ por $\frac{2 e^{2} - 2}{e}$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e e}}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.12.3

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1} e}}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.12.4

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1} e^{1}}}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.12.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1 + 1}}}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.1.12.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{2 - (- 2)}$

Etapa 3.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{2 + 2}$

Etapa 3.2.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{4}$

Etapa 3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 3.4

Simplifique os termos.

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Etapa 3.4.1

Combine.

$\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2) \cdot 1}{e^{2} \cdot 4}$

Etapa 3.4.2

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 3.4.2.1

Fatore $2$ de $2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2) \cdot 1$ .

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{e^{2} \cdot 4}$

Etapa 3.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.4.2.2.1

Fatore $2$ de $e^{2} \cdot 4$ .

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{2 (e^{2} \cdot 2)}$

Etapa 3.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{2 (e^{2} \cdot 2)}$

Etapa 3.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1}{e^{2} \cdot 2}$

Etapa 3.4.3

Cancele o fator comum de $2 e^{2} - 2$ e $2$ .

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Etapa 3.4.3.1

Fatore $2$ de $((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1$ .

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{e^{2} \cdot 2}$

Etapa 3.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.4.3.2.1

Fatore $2$ de $e^{2} \cdot 2$ .

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{2 \cdot e^{2}}$

Etapa 3.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{2 \cdot e^{2}}$

Etapa 3.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1}{e^{2}}$

Etapa 3.4.4

Multiplique $e^{2} + 1$ por $1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1)}{e^{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2})}{e^{2}}$

Etapa 3.5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = e$ e $b = 1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}}$