Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ , $1 \leq x \leq 3$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ como uma equação.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$

Etapa 2

Substitua usando a fórmula da taxa de variação média.

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Etapa 2.1

Para encontrar a taxa de variação média de uma função, calcula-se a variação nos valores de $y$ dos dois pontos e divide-se pela variação nos valores de $x$ dos dois pontos.

$\frac{f (3) - f (1)}{(3) - (1)}$

Etapa 2.2

Substitua a equação $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ por $f (3)$ e $f (1)$ , substituindo $x$ na função pelo valor $x$ correspondente.

$\frac{(\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - 1}}{3}) - (\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{1})}{(3) - (1)}$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1

Divida $\sqrt{{(1)}^{2} - 1}$ por $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - 1}}{3} - \sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{(3) - (1)}$

Etapa 3.2

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $3$ .

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Etapa 3.2.1

Multiplique $\frac{\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1}}{3 - (1)}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1}}{3 - (1)}$

Etapa 3.2.2

Combine.

$\frac{3 (\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1})}{3 (3 - (1))}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Etapa 3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3^{2} - 1} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 1} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Etapa 3.5.2

Subtraia $1$ de $9$ .

$\frac{\sqrt{8} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Etapa 3.5.3

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 3.5.3.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Etapa 3.5.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Etapa 3.5.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Etapa 3.5.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{1 - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Etapa 3.5.6

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{0})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Etapa 3.5.7

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{0^{2}})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Etapa 3.5.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- 0)}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Etapa 3.5.9

Multiplique $3 (- 0)$ .

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Etapa 3.5.9.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 \cdot 0}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Etapa 3.5.9.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 0}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Etapa 3.5.10

Some $2 \sqrt{2}$ e $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

Etapa 3.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 + 3 (- (1))}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $3 (- (1))$ .

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Etapa 3.6.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 3.6.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 - 3}$

Etapa 3.6.3

Subtraia $3$ de $9$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{6}$

Etapa 3.7

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 3.7.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2})}{6}$

Etapa 3.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.7.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

Forma decimal:

$0.47140452 \dots$