Pré-cálculo Exemplos

$d (t) = \frac{100 t}{2 t + 15}$

Etapa 1

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie a função em $x = t + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável $t$ por $t + h$ na expressão.

$d (t + h) = \frac{100 (t + h)}{2 (t + h) + 15}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$d (t + h) = \frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15}$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $\frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15}$ .

$\frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$d (t + h) = \frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15}$

$d (t) = \frac{100 t}{2 t + 15}$

$d (t + h) = \frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15}$

$d (t) = \frac{100 t}{2 t + 15}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$\frac{d (t + h) - d t}{h} = \frac{\frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15} - (\frac{100 t}{2 t + 15})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Para escrever $\frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 t + 15}{2 t + 15}$ .

$\frac{\frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15} \cdot \frac{2 t + 15}{2 t + 15} - \frac{100 t}{2 t + 15}}{h}$

Etapa 4.1.2

Para escrever $- \frac{100 t}{2 t + 15}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 t + 2 h + 15}{2 t + 2 h + 15}$ .

$\frac{\frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15} \cdot \frac{2 t + 15}{2 t + 15} - \frac{100 t}{2 t + 15} \cdot \frac{2 t + 2 h + 15}{2 t + 2 h + 15}}{h}$

Etapa 4.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(2 t + 2 h + 15) (2 t + 15)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1.3.1

Multiplique $\frac{100 (t + h)}{2 t + 2 h + 15}$ por $\frac{2 t + 15}{2 t + 15}$ .

$\frac{\frac{100 (t + h) (2 t + 15)}{(2 t + 2 h + 15) (2 t + 15)} - \frac{100 t}{2 t + 15} \cdot \frac{2 t + 2 h + 15}{2 t + 2 h + 15}}{h}$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $\frac{100 t}{2 t + 15}$ por $\frac{2 t + 2 h + 15}{2 t + 2 h + 15}$ .

$\frac{\frac{100 (t + h) (2 t + 15)}{(2 t + 2 h + 15) (2 t + 15)} - \frac{100 t (2 t + 2 h + 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.3.3

Reordene os fatores de $(2 t + 2 h + 15) (2 t + 15)$ .

$\frac{\frac{100 (t + h) (2 t + 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)} - \frac{100 t (2 t + 2 h + 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{100 (t + h) (2 t + 15) - 100 t (2 t + 2 h + 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5

Reescreva $\frac{100 (t + h) (2 t + 15) - 100 t (2 t + 2 h + 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.1.5.1

Fatore $100$ de $100 (t + h) (2 t + 15) - 100 t (2 t + 2 h + 15)$ .

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Etapa 4.1.5.1.1

Fatore $100$ de $100 (t + h) (2 t + 15)$ .

$\frac{\frac{100 ((t + h) (2 t + 15)) - 100 t (2 t + 2 h + 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.1.2

Fatore $100$ de $- 100 t (2 t + 2 h + 15)$ .

$\frac{\frac{100 ((t + h) (2 t + 15)) + 100 (- t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.1.3

Fatore $100$ de $100 ((t + h) (2 t + 15)) + 100 (- t (2 t + 2 h + 15))$ .

$\frac{\frac{100 ((t + h) (2 t + 15) - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2

Expanda $(t + h) (2 t + 15)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{100 (t (2 t + 15) + h (2 t + 15) - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{100 (t (2 t) + t \cdot 15 + h (2 t + 15) - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{100 (t (2 t) + t \cdot 15 + h (2 t) + h \cdot 15 - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.5.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{100 (2 t \cdot t + t \cdot 15 + h (2 t) + h \cdot 15 - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3.2

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.5.3.2.1

Mova $t$ .

$\frac{\frac{100 (2 (t \cdot t) + t \cdot 15 + h (2 t) + h \cdot 15 - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3.2.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + t \cdot 15 + h (2 t) + h \cdot 15 - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3.3

Mova $15$ para a esquerda de $t$ .

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 \cdot t + h (2 t) + h \cdot 15 - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + h \cdot 15 - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3.5

Mova $15$ para a esquerda de $h$ .

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - t (2 t + 2 h + 15))}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - t (2 t) - t (2 h) - t \cdot 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5

Simplifique.

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Etapa 4.1.5.5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - 1 \cdot 2 t \cdot t - t (2 h) - t \cdot 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - 1 \cdot 2 t \cdot t - 1 \cdot 2 t h - t \cdot 15)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5.3

Multiplique $15$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - 1 \cdot 2 t \cdot t - 1 \cdot 2 t h - 15 t)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.5.6.1

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.6.1.1

Mova $t$ .

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - 1 \cdot 2 (t \cdot t) - 1 \cdot 2 t h - 15 t)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.1.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - 1 \cdot 2 t^{2} - 1 \cdot 2 t h - 15 t)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - 2 t^{2} - 1 \cdot 2 t h - 15 t)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\frac{100 (2 t^{2} + 15 t + 2 h t + 15 h - 2 t^{2} - 2 t h - 15 t)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.7

Subtraia $2 t^{2}$ de $2 t^{2}$ .

$\frac{\frac{100 (15 t + 2 h t + 15 h + 0 - 2 t h - 15 t)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8

Some $15 t$ e $0$ .

$\frac{\frac{100 (15 t + 2 h t + 15 h - 2 t h - 15 t)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.9

Subtraia $15 t$ de $15 t$ .

$\frac{\frac{100 (2 h t + 15 h - 2 t h + 0)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.10

Some $2 h t + 15 h - 2 t h$ e $0$ .

$\frac{\frac{100 (2 h t + 15 h - 2 t h)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.11

Subtraia $2 t h$ de $2 h t$ .

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Etapa 4.1.5.11.1

Mova $h$ .

$\frac{\frac{100 (15 h + 2 t h - 2 t h)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.11.2

Subtraia $2 t h$ de $2 t h$ .

$\frac{\frac{100 (15 h + 0)}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.12

Some $15 h$ e $0$ .

$\frac{\frac{100 \cdot 15 h}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.1.5.13

Multiplique $100$ por $15$ .

$\frac{\frac{1500 h}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}}{h}$

Etapa 4.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1500 h}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore $h$ de $1500 h$ .

$\frac{h \cdot 1500}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{h \cdot 1500}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1500}{(2 t + 15) (2 t + 2 h + 15)}$

Etapa 5