Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} - x - 1$ ; $[3, \frac{13}{4}]$

Etapa 1

Escreva $f (x) = x^{2} - x - 1$ como uma equação.

$y = x^{2} - x - 1$

Etapa 2

Substitua usando a fórmula da taxa de variação média.

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Etapa 2.1

Para encontrar a taxa de variação média de uma função, calcula-se a variação nos valores de $y$ dos dois pontos e divide-se pela variação nos valores de $x$ dos dois pontos.

$\frac{f (\frac{13}{4}) - f (3)}{(\frac{13}{4}) - (3)}$

Etapa 2.2

Substitua a equação $y = x^{2} - x - 1$ por $f (\frac{13}{4})$ e $f (3)$ , substituindo $x$ na função pelo valor $x$ correspondente.

$\frac{({(\frac{13}{4})}^{2} - (\frac{13}{4}) - 1) - ({(3)}^{2} - (3) - 1)}{(\frac{13}{4}) - (3)}$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $4$ .

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Etapa 3.1.1

Multiplique $\frac{{(\frac{13}{4})}^{2} - \frac{13}{4} - 1 - (3^{2} - (3) - 1)}{\frac{13}{4} - (3)}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} \cdot \frac{{(\frac{13}{4})}^{2} - \frac{13}{4} - 1 - (3^{2} - (3) - 1)}{\frac{13}{4} - (3)}$

Etapa 3.1.2

Combine.

$\frac{4 ({(\frac{13}{4})}^{2} - \frac{13}{4} - 1 - (3^{2} - (3) - 1))}{4 (\frac{13}{4} - (3))}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 {(\frac{13}{4})}^{2} + 4 (- \frac{13}{4}) + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{4 (\frac{13}{4}) + 4 (- (3))}$

Etapa 3.3

Simplifique cancelando.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.3.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{13}{4}$ para o numerador.

$\frac{4 {(\frac{13}{4})}^{2} + 4 (\frac{- 13}{4}) + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{4 (\frac{13}{4}) + 4 (- (3))}$

Etapa 3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 {(\frac{13}{4})}^{2} + 4 (\frac{- 13}{4}) + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{4 (\frac{13}{4}) + 4 (- (3))}$

Etapa 3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 {(\frac{13}{4})}^{2} - 13 + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{4 (\frac{13}{4}) + 4 (- (3))}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 {(\frac{13}{4})}^{2} - 13 + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{4 (\frac{13}{4}) + 4 (- (3))}$

Etapa 3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 {(\frac{13}{4})}^{2} - 13 + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{13}{4}$ .

$\frac{4 \frac{13^{2}}{4^{2}} - 13 + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.4.2.1

Fatore $4$ de $4^{2}$ .

$\frac{4 \frac{13^{2}}{4 \cdot 4} - 13 + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \frac{13^{2}}{4 \cdot 4} - 13 + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{13^{2}}{4} - 13 + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.3

Eleve $13$ à potência de $2$ .

$\frac{\frac{169}{4} - 13 + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{169}{4} - 13 - 4 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.5.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{\frac{169}{4} - 13 - 4 + 4 (- (9 - (3) - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.5.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{\frac{169}{4} - 13 - 4 + 4 (- (9 - 3 - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.6

Subtraia $3$ de $9$ .

$\frac{\frac{169}{4} - 13 - 4 + 4 (- (6 - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.7

Subtraia $1$ de $6$ .

$\frac{\frac{169}{4} - 13 - 4 + 4 (- 1 \cdot 5)}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.8

Multiplique $4 (- 1 \cdot 5)$ .

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Etapa 3.4.8.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{\frac{169}{4} - 13 - 4 + 4 \cdot - 5}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.8.2

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$\frac{\frac{169}{4} - 13 - 4 - 20}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.9

Para escrever $- 13$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{169}{4} - 13 \cdot \frac{4}{4} - 4 - 20}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.10

Combine $- 13$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{169}{4} + \frac{- 13 \cdot 4}{4} - 4 - 20}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{169 - 13 \cdot 4}{4} - 4 - 20}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.12.1

Multiplique $- 13$ por $4$ .

$\frac{\frac{169 - 52}{4} - 4 - 20}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.12.2

Subtraia $52$ de $169$ .

$\frac{\frac{117}{4} - 4 - 20}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.13

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{117}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4} - 20}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.14

Combine $- 4$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{117}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4} - 20}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{117 - 4 \cdot 4}{4} - 20}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.16

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.16.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$\frac{\frac{117 - 16}{4} - 20}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.16.2

Subtraia $16$ de $117$ .

$\frac{\frac{101}{4} - 20}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.17

Para escrever $- 20$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{101}{4} - 20 \cdot \frac{4}{4}}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.18

Combine $- 20$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{101}{4} + \frac{- 20 \cdot 4}{4}}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{101 - 20 \cdot 4}{4}}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.20

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.20.1

Multiplique $- 20$ por $4$ .

$\frac{\frac{101 - 80}{4}}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.4.20.2

Subtraia $80$ de $101$ .

$\frac{\frac{21}{4}}{13 + 4 (- (3))}$

Etapa 3.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $4 (- (3))$ .

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Etapa 3.5.1.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{\frac{21}{4}}{13 + 4 \cdot - 3}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$\frac{\frac{21}{4}}{13 - 12}$

Etapa 3.5.2

Subtraia $12$ de $13$ .

$\frac{\frac{21}{4}}{1}$

Etapa 3.6

Divida $\frac{21}{4}$ por $1$ .

$\frac{21}{4}$