Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = - x^{2} - x + 1$ ;, $[2, \frac{7}{3}]$

Etapa 1

Escreva $f (x) = - x^{2} - x + 1$ como uma equação.

$y = - x^{2} - x + 1$

Etapa 2

Substitua usando a fórmula da taxa de variação média.

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Etapa 2.1

Para encontrar a taxa de variação média de uma função, calcula-se a variação nos valores de $y$ dos dois pontos e divide-se pela variação nos valores de $x$ dos dois pontos.

$\frac{f (\frac{7}{3}) - f (2)}{(\frac{7}{3}) - (2)}$

Etapa 2.2

Substitua a equação $y = - x^{2} - x + 1$ por $f (\frac{7}{3})$ e $f (2)$ , substituindo $x$ na função pelo valor $x$ correspondente.

$\frac{(- {(\frac{7}{3})}^{2} - (\frac{7}{3}) + 1) - (- {(2)}^{2} - (2) + 1)}{(\frac{7}{3}) - (2)}$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $3$ .

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Etapa 3.1.1

Multiplique $\frac{- {(\frac{7}{3})}^{2} - \frac{7}{3} + 1 - (- 2^{2} - (2) + 1)}{\frac{7}{3} - (2)}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{- {(\frac{7}{3})}^{2} - \frac{7}{3} + 1 - (- 2^{2} - (2) + 1)}{\frac{7}{3} - (2)}$

Etapa 3.1.2

Combine.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2} - \frac{7}{3} + 1 - (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3} - (2))}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) + 3 (- \frac{7}{3}) + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

Etapa 3.3

Simplifique cancelando.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{7}{3}$ para o numerador.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) + 3 (\frac{- 7}{3}) + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

Etapa 3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) + 3 (\frac{- 7}{3}) + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

Etapa 3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{3 (\frac{7}{3}) + 3 (- (2))}$

Etapa 3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (- {(\frac{7}{3})}^{2}) - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{7}{3}$ .

$\frac{3 (- \frac{7^{2}}{3^{2}}) - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.4.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{7^{2}}{3^{2}}$ para o numerador.

$\frac{3 \frac{- 7^{2}}{3^{2}} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.2.2

Fatore $3$ de $3^{2}$ .

$\frac{3 \frac{- 7^{2}}{3 \cdot 3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \frac{- 7^{2}}{3 \cdot 3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{- 7^{2}}{3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.3

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$\frac{\frac{- 1 \cdot 49}{3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.4

Multiplique $- 1$ por $49$ .

$\frac{\frac{- 49}{3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 \cdot 1 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 2^{2} - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.7.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 1 \cdot 4 - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.7.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 4 - (2) + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.7.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 4 - 2 + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.8

Subtraia $2$ de $- 4$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- (- 6 + 1))}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.9

Some $- 6$ e $1$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 (- - 5)}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.10

Multiplique $3 (- - 5)$ .

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Etapa 3.4.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 3 \cdot 5}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.10.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.11

Para escrever $- 7$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- \frac{49}{3} - 7 \cdot \frac{3}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.12

Combine $- 7$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- \frac{49}{3} + \frac{- 7 \cdot 3}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{- 49 - 7 \cdot 3}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.14.1

Multiplique $- 7$ por $3$ .

$\frac{\frac{- 49 - 21}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.14.2

Subtraia $21$ de $- 49$ .

$\frac{\frac{- 70}{3} + 3 + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.15

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{- 70}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.16

Combine $3$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{- 70}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{- 70 + 3 \cdot 3}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.18

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.18.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{\frac{- 70 + 9}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.18.2

Some $- 70$ e $9$ .

$\frac{\frac{- 61}{3} + 15}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.19

Para escrever $15$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{- 61}{3} + 15 \cdot \frac{3}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.20

Combine $15$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{- 61}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{- 61 + 15 \cdot 3}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.22

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.22.1

Multiplique $15$ por $3$ .

$\frac{\frac{- 61 + 45}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.22.2

Some $- 61$ e $45$ .

$\frac{\frac{- 16}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.4.23

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{- \frac{16}{3}}{7 + 3 (- (2))}$

Etapa 3.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $3 (- (2))$ .

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Etapa 3.5.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- \frac{16}{3}}{7 + 3 \cdot - 2}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{- \frac{16}{3}}{7 - 6}$

Etapa 3.5.2

Subtraia $6$ de $7$ .

$\frac{- \frac{16}{3}}{1}$

Etapa 3.6

Divida $- \frac{16}{3}$ por $1$ .

$- \frac{16}{3}$