Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 3}$

Etapa 1

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \frac{(x + h) - 1}{(x + h) + 3}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.1.2.1

Remova os parênteses.

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 3}$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $\frac{x + h - 1}{x + h + 3}$ .

$\frac{x + h - 1}{x + h + 3}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 3}$

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 3}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 3} - (\frac{x - 1}{x + 3})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Para escrever $\frac{x + h - 1}{x + h + 3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 1}{x + 3}}{h}$

Etapa 4.1.2

Para escrever $- \frac{x - 1}{x + 3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$\frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 1}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Etapa 4.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + h + 3) (x + 3)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1.3.1

Multiplique $\frac{x + h - 1}{x + h + 3}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{\frac{(x + h - 1) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{x - 1}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $\frac{x - 1}{x + 3}$ por $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$\frac{\frac{(x + h - 1) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{(x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.3.3

Reordene os fatores de $(x + h + 3) (x + 3)$ .

$\frac{\frac{(x + h - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)} - \frac{(x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{(x + h - 1) (x + 3) - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5

Reescreva $\frac{(x + h - 1) (x + 3) - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.1.5.1

Expanda $(x + h - 1) (x + 3)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.5.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 3 \cdot x + h x + h \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.3

Mova $3$ para a esquerda de $h$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 3 x + h x + 3 \cdot h - 1 x - 1 \cdot 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x - 1 \cdot 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x - 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3

Subtraia $x$ de $3 x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 + (- x - - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 + (- x + 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6

Expanda $(- x + 1) (x + h + 3)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x \cdot x - x h - x \cdot 3 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.5.7.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.5.7.1.1

Mova $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - (x \cdot x) - x h - x \cdot 3 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.7.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - x \cdot 3 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.7.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - 3 x + 1 x + 1 h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.7.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - 3 x + x + 1 h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.7.4

Multiplique $h$ por $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - 3 x + x + h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.7.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - 3 x + x + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8

Some $- 3 x$ e $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - 2 x + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.9

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 x + h x + 3 h - 3 + 0 - x h - 2 x + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.10

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{\frac{2 x + h x + 3 h - 3 - x h - 2 x + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.11

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{\frac{h x + 3 h - 3 - x h + 0 + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.12

Subtraia $x h$ de $h x$ .

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Etapa 4.1.5.12.1

Reordene $h$ e $x$ .

$\frac{\frac{3 h - 3 + x h - x h + 0 + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.12.2

Subtraia $x h$ de $x h$ .

$\frac{\frac{3 h - 3 + 0 + 0 + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.13

Some $3 h$ e $0$ .

$\frac{\frac{3 h - 3 + 0 + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.14

Some $3 h$ e $0$ .

$\frac{\frac{3 h - 3 + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.15

Some $3 h$ e $h$ .

$\frac{\frac{4 h - 3 + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.16

Some $- 3$ e $3$ .

$\frac{\frac{4 h + 0}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.1.5.17

Some $4 h$ e $0$ .

$\frac{\frac{4 h}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Etapa 4.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{4 h}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore $h$ de $4 h$ .

$\frac{h \cdot 4}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{h \cdot 4}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{(x + 3) (x + h + 3)}$

Etapa 5