Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

Etapa 1

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \frac{(x + h) - 3}{x + h}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.1.2.1

Remova os parênteses.

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h}$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $\frac{x + h - 3}{x + h}$ .

$\frac{x + h - 3}{x + h}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h}$

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

$f (x + h) = \frac{x + h - 3}{x + h}$

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h - 3}{x + h} - (\frac{x - 3}{x})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Para escrever $\frac{x + h - 3}{x + h}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{x + h - 3}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{x - 3}{x}}{h}$

Etapa 4.1.2

Para escrever $- \frac{x - 3}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{x + h - 3}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{x - 3}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Etapa 4.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + h) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1.3.1

Multiplique $\frac{x + h - 3}{x + h}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) x}{(x + h) x} - \frac{x - 3}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $\frac{x - 3}{x}$ por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) x}{(x + h) x} - \frac{(x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.3.3

Reordene os fatores de $(x + h) x$ .

$\frac{\frac{(x + h - 3) x}{x (x + h)} - \frac{(x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{(x + h - 3) x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5

Reescreva $\frac{(x + h - 3) x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{x \cdot x + h x - 3 x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x + (- x - - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.4

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x + (- x + 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5

Expanda $(- x + 3) (x + h)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.5.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x (x + h) + 3 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x \cdot x - x h + 3 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x \cdot x - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.5.6.1

Mova $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - (x \cdot x) - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + h x - 3 x - x^{2} - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.7

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{h x - 3 x + 0 - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8

Some $h x$ e $0$ .

$\frac{\frac{h x - 3 x - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.9

Subtraia $x h$ de $h x$ .

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Etapa 4.1.5.9.1

Reordene $h$ e $x$ .

$\frac{\frac{- 3 x + x h - x h + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.9.2

Subtraia $x h$ de $x h$ .

$\frac{\frac{- 3 x + 0 + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.10

Some $- 3 x$ e $0$ .

$\frac{\frac{- 3 x + 3 x + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.11

Some $- 3 x$ e $3 x$ .

$\frac{\frac{0 + 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.12

Some $0$ e $3 h$ .

$\frac{\frac{3 h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{3 h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore $h$ de $3 h$ .

$\frac{h \cdot 3}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{h \cdot 3}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{x (x + h)}$

Etapa 5