Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 6 e^{x}$ , $[- 3, 3]$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 6 e^{x}$ como uma equação.

$y = 6 e^{x}$

Etapa 2

Substitua usando a fórmula da taxa de variação média.

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Etapa 2.1

Para encontrar a taxa de variação média de uma função, calcula-se a variação nos valores de $y$ dos dois pontos e divide-se pela variação nos valores de $x$ dos dois pontos.

$\frac{f (3) - f (- 3)}{(3) - (- 3)}$

Etapa 2.2

Substitua a equação $y = 6 e^{x}$ por $f (3)$ e $f (- 3)$ , substituindo $x$ na função pelo valor $x$ correspondente.

$\frac{(6 e^{3}) - (6 e^{- 3})}{(3) - (- 3)}$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{6 e^{3} - 6 e^{- 3}}{3 - (- 3)}$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6 e^{3} - 6 \frac{1}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Etapa 3.1.3

Combine $- 6$ e $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{6 e^{3} + \frac{- 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Etapa 3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{6 e^{3} - \frac{6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Etapa 3.1.5

Para escrever $6 e^{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ .

$\frac{\frac{6 e^{3} e^{3}}{e^{3}} - \frac{6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Etapa 3.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{6 e^{3} e^{3} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Etapa 3.1.7

Multiplique $e^{3}$ por $e^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.7.1

Mova $e^{3}$ .

$\frac{\frac{6 (e^{3} e^{3}) - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Etapa 3.1.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{6 e^{3 + 3} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Etapa 3.1.7.3

Some $3$ e $3$ .

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

Etapa 3.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{3 + 3}$

Etapa 3.2.2

Some $3$ e $3$ .

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{6}$

Etapa 3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}} \cdot \frac{1}{6}$

Etapa 3.4

Simplifique os termos.

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Etapa 3.4.1

Multiplique $\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3} \cdot 6}$

Etapa 3.4.2

Cancele o fator comum de $6 e^{6} - 6$ e $6$ .

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Etapa 3.4.2.1

Fatore $6$ de $6 e^{6}$ .

$\frac{6 (e^{6}) - 6}{e^{3} \cdot 6}$

Etapa 3.4.2.2

Fatore $6$ de $- 6$ .

$\frac{6 (e^{6}) + 6 \cdot - 1}{e^{3} \cdot 6}$

Etapa 3.4.2.3

Fatore $6$ de $6 (e^{6}) + 6 (- 1)$ .

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{e^{3} \cdot 6}$

Etapa 3.4.2.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.4.2.4.1

Fatore $6$ de $e^{3} \cdot 6$ .

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{6 \cdot e^{3}}$

Etapa 3.4.2.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{6 \cdot e^{3}}$

Etapa 3.4.2.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{6} - 1}{e^{3}}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Reescreva $e^{6}$ como ${(e^{2})}^{3}$ .

$\frac{{(e^{2})}^{3} - 1}{e^{3}}$

Etapa 3.5.2

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{{(e^{2})}^{3} - 1^{3}}{e^{3}}$

Etapa 3.5.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = e^{2}$ e $b = 1$ .

$\frac{(e^{2} - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

Etapa 3.5.4

Simplifique.

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Etapa 3.5.4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(e^{2} - 1^{2}) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

Etapa 3.5.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = e$ e $b = 1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

Etapa 3.5.4.3

Multiplique $e^{2}$ por $1$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

Etapa 3.5.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.5.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.5.5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{2 \cdot 2} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

Etapa 3.5.5.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{4} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

Etapa 3.5.5.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{4} + e^{2} + 1)}{e^{3}}$