Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \cos (x)$ , $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \cos (x)$ como uma equação.

$y = \cos (x)$

Etapa 2

Substitua usando a fórmula da taxa de variação média.

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Etapa 2.1

Para encontrar a taxa de variação média de uma função, calcula-se a variação nos valores de $y$ dos dois pontos e divide-se pela variação nos valores de $x$ dos dois pontos.

$\frac{f (\frac{π}{3}) - f (- \frac{π}{3})}{(\frac{π}{3}) - (- \frac{π}{3})}$

Etapa 2.2

Substitua a equação $y = \cos (x)$ por $f (\frac{π}{3})$ e $f (- \frac{π}{3})$ , substituindo $x$ na função pelo valor $x$ correspondente.

$\frac{(\cos (\frac{π}{3})) - (\cos (- \frac{π}{3}))}{(\frac{π}{3}) - (- \frac{π}{3})}$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $3$ .

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Etapa 3.1.1

Multiplique $\frac{\cos (\frac{π}{3}) - \cos (- \frac{π}{3})}{\frac{π}{3} - - \frac{π}{3}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{3}) - \cos (- \frac{π}{3})}{\frac{π}{3} - - \frac{π}{3}}$

Etapa 3.1.2

Combine.

$\frac{3 (\cos (\frac{π}{3}) - \cos (- \frac{π}{3}))}{3 (\frac{π}{3} - - \frac{π}{3})}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 \cos (\frac{π}{3}) + 3 (- \cos (- \frac{π}{3}))}{3 \frac{π}{3} + 3 (- - \frac{π}{3})}$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cos (\frac{π}{3}) + 3 (- \cos (- \frac{π}{3}))}{3 \frac{π}{3} + 3 (- - \frac{π}{3})}$

Etapa 3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \cos (\frac{π}{3}) + 3 (- \cos (- \frac{π}{3}))}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Fatore $3$ de $3 \cos (\frac{π}{3}) + 3 (- \cos (- \frac{π}{3}))$ .

$\frac{3 (\cos (\frac{π}{3}) - \cos (- \frac{π}{3}))}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

Etapa 3.4.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 (\frac{1}{2} - \cos (- \frac{π}{3}))}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

Etapa 3.4.3

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{3 (\frac{1}{2} - \cos (\frac{5 π}{3}))}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

Etapa 3.4.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{3 (\frac{1}{2} - \cos (\frac{π}{3}))}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

Etapa 3.4.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

Etapa 3.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 \frac{1 - 1}{2}}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

Etapa 3.4.7

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{3 (\frac{0}{2})}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

Etapa 3.4.8

Divida $0$ por $2$ .

$\frac{3 \cdot 0}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

Etapa 3.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $- - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 3.5.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 \cdot 0}{π + 3 (1 \frac{π}{3})}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $1$ .

$\frac{3 \cdot 0}{π + 3 \frac{π}{3}}$

Etapa 3.5.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 0}{π + 3 \frac{π}{3}}$

Etapa 3.5.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \cdot 0}{π + π}$

Etapa 3.5.3

Some $π$ e $π$ .

$\frac{3 \cdot 0}{2 π}$

Etapa 3.6

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{0}{2 π}$

Etapa 3.6.2

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 3.6.2.1

Fatore $2$ de $0$ .

$\frac{2 (0)}{2 π}$

Etapa 3.6.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.6.2.2.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$\frac{2 (0)}{2 (π)}$

Etapa 3.6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 0}{2 π}$

Etapa 3.6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{0}{π}$

Etapa 3.6.3

Divida $0$ por $π$ .

$0$