Pré-cálculo Exemplos

$V = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Etapa 1

Escreva $V = \frac{4 π r^{3}}{3}$ como uma função.

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Etapa 2

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (r + h) - f r}{h}$

Etapa 3

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 3.1

Avalie a função em $x = r + h$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $r$ por $r + h$ na expressão.

$f (r + h) = \frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

Etapa 3.1.2

A resposta final é $\frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

Etapa 3.2

Encontre os componentes da definição.

$f (r + h) = \frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r + h) = \frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Etapa 4

Substitua os componentes.

$\frac{f (r + h) - f r}{h} = \frac{\frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3} - (\frac{4 π r^{3}}{3})}{h}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{4 π {(r + h)}^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Etapa 5.1.2

Reescreva $\frac{4 π {(r + h)}^{3} - 4 π r^{3}}{3}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.1.2.1

Use o teorema binomial.

$\frac{\frac{4 π (r^{3} + 3 r^{2} h + 3 r h^{2} + h^{3}) - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Etapa 5.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 4 π (3 r^{2} h) + 4 π (3 r h^{2}) + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Etapa 5.1.2.3

Simplifique.

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Etapa 5.1.2.3.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 12 π (r^{2} h) + 4 π (3 r h^{2}) + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Etapa 5.1.2.3.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 12 π (r^{2} h) + 12 π (r h^{2}) + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Etapa 5.1.2.4

Remova os parênteses.

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

Etapa 5.1.2.5

Subtraia $4 π r^{3}$ de $4 π r^{3}$ .

$\frac{\frac{12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3} + 0}{3}}{h}$

Etapa 5.1.2.6

Some $12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}$ e $0$ .

$\frac{\frac{12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}}{3}}{h}$

Etapa 5.1.2.7

Fatore $4 π h$ de $12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}$ .

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Etapa 5.1.2.7.1

Fatore $4 π h$ de $12 π r^{2} h$ .

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2}) + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}}{3}}{h}$

Etapa 5.1.2.7.2

Fatore $4 π h$ de $12 π r h^{2}$ .

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2}) + 4 π h (3 r h) + 4 π h^{3}}{3}}{h}$

Etapa 5.1.2.7.3

Fatore $4 π h$ de $4 π h^{3}$ .

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2}) + 4 π h (3 r h) + 4 π h \cdot h^{2}}{3}}{h}$

Etapa 5.1.2.7.4

Fatore $4 π h$ de $4 π h (3 r^{2}) + 4 π h (3 r h)$ .

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h) + 4 π h \cdot h^{2}}{3}}{h}$

Etapa 5.1.2.7.5

Fatore $4 π h$ de $4 π h (3 r^{2} + 3 r h) + 4 π h \cdot h^{2}$ .

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2})}{3}}{h}$

Etapa 5.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2})}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 5.3

Combine.

$\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Etapa 5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 π (3 r^{2} + 3 r h + h^{2}) \cdot 1}{3}$

Etapa 5.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{4 π (3 r^{2} + 3 r h + h^{2})}{3}$

Etapa 6