Pré-cálculo Exemplos

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

Etapa 1

Escreva $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ como uma função.

$f (r) = \frac{4}{3} π r^{3}$

Etapa 2

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (r + h) - f r}{h}$

Etapa 3

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie a função em $x = r + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $r$ por $r + h$ na expressão.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π {(r + h)}^{3})$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Use o teorema binomial.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π (r^{3} + 3 r^{2} h + 3 r h^{2} + h^{3}))$

Etapa 3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + π (3 r^{2} h) + π (3 r h^{2}) + π h^{3})$

Etapa 3.1.2.3

Remova os parênteses.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + π \cdot (3 r^{2} h) + π \cdot (3 r h^{2}) + π h^{3})$

Etapa 3.1.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + 3 \cdot (π r^{2} h) + π \cdot (3 r h^{2}) + π h^{3})$

Etapa 3.1.2.4.2

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + 3 π r^{2} h + 3 π r h^{2} + π h^{3})$

Etapa 3.1.2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3}) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Etapa 3.1.2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.6.1

Multiplique $\frac{4}{3} (π r^{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.6.1.1

Combine $π$ e $\frac{4}{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot 4}{3} r^{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Etapa 3.1.2.6.1.2

Combine $\frac{π \cdot 4}{3}$ e $r^{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Etapa 3.1.2.6.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.6.2.1

Fatore $3$ de $3 π r^{2} h$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r^{2} h)) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Etapa 3.1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r^{2} h)) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Etapa 3.1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Etapa 3.1.2.6.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.6.3.1

Fatore $3$ de $3 π r h^{2}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r h^{2})) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Etapa 3.1.2.6.3.2

Cancele o fator comum.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r h^{2})) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Etapa 3.1.2.6.3.3

Reescreva a expressão.

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

Etapa 3.1.2.6.4

Multiplique $\frac{4}{3} (π h^{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.6.4.1

Combine $π$ e $\frac{4}{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot 4}{3} h^{3}$

Etapa 3.1.2.6.4.2

Combine $\frac{π \cdot 4}{3}$ e $h^{3}$ .

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot (4 h^{3})}{3}$

Etapa 3.1.2.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.7.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$f (r + h) = \frac{4 \cdot (π r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot (4 h^{3})}{3}$

Etapa 3.1.2.7.2

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$f (r + h) = \frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Etapa 3.1.2.8

A resposta final é $\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Etapa 3.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Mova $r^{2}$ .

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Etapa 3.2.2

Mova $r$ .

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + 4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3}$

Etapa 3.2.3

Mova $\frac{4 π r^{3}}{3}$ .

$4 π h r^{2} + 4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

Etapa 3.2.4

Mova $4 π h r^{2}$ .

$4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

Etapa 3.2.5

Reordene $4 π h^{2} r$ e $\frac{4 π h^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

Etapa 3.3

Encontre os componentes da definição.

$f (r + h) = \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r + h) = \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

Etapa 4

Substitua os componentes.

$\frac{f (r + h) - f r}{h} = \frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3} - (\frac{4 π r^{3}}{3})}{h}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Subtraia $\frac{4 π r^{3}}{3}$ de $\frac{4 π r^{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + 0}{h}$

Etapa 5.1.2

Some $\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}$ e $0$ .

$\frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}}{h}$

Etapa 5.1.3

Fatore $4 π h$ de $\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Fatore $4 π h$ de $\frac{4 π h^{3}}{3}$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}}{h}$

Etapa 5.1.3.2

Fatore $4 π h$ de $4 π h^{2} r$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

Etapa 5.1.3.3

Fatore $4 π h$ de $4 π h r^{2}$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

Etapa 5.1.3.4

Fatore $4 π h$ de $4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r)$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

Etapa 5.1.3.5

Fatore $4 π h$ de $4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r) + 4 π h r^{2}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r + r^{2})}{h}$

Etapa 5.1.4

Para escrever $h r$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r \cdot \frac{3}{3} + r^{2})}{h}$

Etapa 5.1.5

Combine $h r$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + \frac{h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

Etapa 5.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 π h (\frac{h^{2} + h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

Etapa 5.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.7.1

Fatore $h$ de $h^{2} + h r \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.7.1.1

Fatore $h$ de $h^{2}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h \cdot h + h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

Etapa 5.1.7.1.2

Fatore $h$ de $h r \cdot 3$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h) + h (r \cdot 3)}{3} + r^{2})}{h}$

Etapa 5.1.7.1.3

Fatore $h$ de $h (h) + h (r \cdot 3)$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + r \cdot 3)}{3} + r^{2})}{h}$

Etapa 5.1.7.2

Mova $3$ para a esquerda de $r$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + r^{2})}{h}$

Etapa 5.1.8

Para escrever $r^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + r^{2} \cdot \frac{3}{3})}{h}$

Etapa 5.1.9

Combine $r^{2}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + \frac{r^{2} \cdot 3}{3})}{h}$

Etapa 5.1.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 π h \frac{h (h + 3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Etapa 5.1.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 π h \frac{h (h) + h (3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Etapa 5.1.11.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + h (3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Etapa 5.1.11.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + 3 h r + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

Etapa 5.1.11.4

Mova $3$ para a esquerda de $r^{2}$ .

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}}{3}}{h}$

Etapa 5.1.12

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.12.1

Combine $4$ e $\frac{h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}}{3}$ .

$\frac{π h \frac{4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

Etapa 5.1.12.2

Combine $π$ e $\frac{4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}$ .

$\frac{h \frac{π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}))}{3}}{h}$

Etapa 5.1.12.3

Combine $h$ e $\frac{π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}))}{3}$ .

$\frac{\frac{h (π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})))}{3}}{h}$

Etapa 5.1.13

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{\frac{h π \cdot 4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

Etapa 5.1.14

Mova $4$ para a esquerda de $h π$ .

$\frac{\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

Etapa 5.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 5.3

Combine.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3 h}$

Etapa 5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3}$

Etapa 5.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{4 π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}$

Etapa 6