Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{5}{x^{2} + 1}$ ; $[- 1, 1]$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{5}{x^{2} + 1}$ como uma equação.

$y = \frac{5}{x^{2} + 1}$

Etapa 2

Substitua usando a fórmula da taxa de variação média.

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Etapa 2.1

Para encontrar a taxa de variação média de uma função, calcula-se a variação nos valores de $y$ dos dois pontos e divide-se pela variação nos valores de $x$ dos dois pontos.

$\frac{f (1) - f (- 1)}{(1) - (- 1)}$

Etapa 2.2

Substitua a equação $y = \frac{5}{x^{2} + 1}$ por $f (1)$ e $f (- 1)$ , substituindo $x$ na função pelo valor $x$ correspondente.

$\frac{(\frac{5}{{(1)}^{2} + 1}) - (\frac{5}{{(- 1)}^{2} + 1})}{(1) - (- 1)}$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)$ .

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Etapa 3.1.1

Multiplique $\frac{\frac{5}{1^{2} + 1} - \frac{5}{{(- 1)}^{2} + 1}}{1 - (- 1)}$ por $\frac{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)}$ .

$\frac{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)} \cdot \frac{\frac{5}{1^{2} + 1} - \frac{5}{{(- 1)}^{2} + 1}}{1 - (- 1)}$

Etapa 3.1.2

Combine.

$\frac{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (\frac{5}{1^{2} + 1} - \frac{5}{{(- 1)}^{2} + 1})}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (1 - (- 1))}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \frac{5}{1^{2} + 1} + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- \frac{5}{{(- 1)}^{2} + 1})}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Etapa 3.3

Simplifique cancelando.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $1^{2} + 1$ .

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Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 5 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- \frac{5}{{(- 1)}^{2} + 1})}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de ${(- 1)}^{2} + 1$ .

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Etapa 3.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5}{{(- 1)}^{2} + 1}$ para o numerador.

$\frac{({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 5 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \frac{- 5}{{(- 1)}^{2} + 1}}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Etapa 3.3.2.2

Fatore ${(- 1)}^{2} + 1$ de $(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1)$ .

$\frac{({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 5 + ({(- 1)}^{2} + 1) (1^{2} + 1) \frac{- 5}{{(- 1)}^{2} + 1}}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Etapa 3.3.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 5 + ({(- 1)}^{2} + 1) (1^{2} + 1) \frac{- 5}{{(- 1)}^{2} + 1}}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Etapa 3.3.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 5 + (1^{2} + 1) \cdot - 5}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{(1 + 1) \cdot 5 + (1^{2} + 1) \cdot - 5}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Etapa 3.4.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 \cdot 5 + (1^{2} + 1) \cdot - 5}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{10 + (1^{2} + 1) \cdot - 5}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Etapa 3.4.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{10 + (1 + 1) \cdot - 5}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Etapa 3.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{10 + 2 \cdot - 5}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Etapa 3.4.6

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$\frac{10 - 10}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Etapa 3.4.7

Subtraia $10$ de $10$ .

$\frac{0}{(1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Etapa 3.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{(1 + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Etapa 3.5.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{0}{2 ({(- 1)}^{2} + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Etapa 3.5.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{2 (1 + 1) \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Etapa 3.5.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{0}{2 \cdot 2 \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Etapa 3.5.5

Multiplique $2 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Etapa 3.5.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{0}{4 \cdot 1 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Etapa 3.5.5.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{0}{4 + (1^{2} + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Etapa 3.5.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{4 + (1 + 1) ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Etapa 3.5.7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{0}{4 + 2 ({(- 1)}^{2} + 1) (- (- 1))}$

Etapa 3.5.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{4 + 2 (1 + 1) (- (- 1))}$

Etapa 3.5.9

Some $1$ e $1$ .

$\frac{0}{4 + 2 \cdot 2 (- (- 1))}$

Etapa 3.5.10

Multiplique $2 \cdot 2 (- (- 1))$ .

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Etapa 3.5.10.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{0}{4 + 4 (- (- 1))}$

Etapa 3.5.10.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{0}{4 + 4 \cdot 1}$

Etapa 3.5.10.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{0}{4 + 4}$

Etapa 3.5.11

Some $4$ e $4$ .

$\frac{0}{8}$

Etapa 3.6

Divida $0$ por $8$ .

$0$