Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 18 + 3 e^{- 3 x}$

Etapa 1

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = 18 + 3 e^{- 3 (x + h)}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$ .

$18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = 18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$

$f (x) = 18 + 3 e^{- 3 x}$

$f (x + h) = 18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$

$f (x) = 18 + 3 e^{- 3 x}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{18 + 3 e^{- 3 x - 3 h} - (18 + 3 e^{- 3 x})}{h}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{18 + 3 e^{- 3 x - 3 h} - 1 \cdot 18 - (3 e^{- 3 x})}{h}$

Etapa 4.2

Multiplique $- 1$ por $18$ .

$\frac{18 + 3 e^{- 3 x - 3 h} - 18 - (3 e^{- 3 x})}{h}$

Etapa 4.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{18 + 3 e^{- 3 x - 3 h} - 18 - 3 e^{- 3 x}}{h}$

Etapa 4.4

Subtraia $18$ de $18$ .

$\frac{3 e^{- 3 x - 3 h} + 0 - 3 e^{- 3 x}}{h}$

Etapa 4.5

Some $3 e^{- 3 x - 3 h}$ e $0$ .

$\frac{3 e^{- 3 x - 3 h} - 3 e^{- 3 x}}{h}$

Etapa 4.6

Reescreva $3 e^{- 3 x - 3 h} - 3 e^{- 3 x}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.6.1

Fatore $3$ de $3 e^{- 3 x - 3 h} - 3 e^{- 3 x}$ .

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Etapa 4.6.1.1

Fatore $3$ de $3 e^{- 3 x - 3 h}$ .

$\frac{3 e^{- 3 x - 3 h} - 3 e^{- 3 x}}{h}$

Etapa 4.6.1.2

Fatore $3$ de $- 3 e^{- 3 x}$ .

$\frac{3 e^{- 3 x - 3 h} + 3 (- e^{- 3 x})}{h}$

Etapa 4.6.1.3

Fatore $3$ de $3 e^{- 3 x - 3 h} + 3 (- e^{- 3 x})$ .

$\frac{3 (e^{- 3 x - 3 h} - e^{- 3 x})}{h}$

Etapa 4.6.2

Reescreva $e^{- 3 x - 3 h}$ como ${(e^{- x - h})}^{3}$ .

$\frac{3 ({(e^{- x - h})}^{3} - e^{- 3 x})}{h}$

Etapa 4.6.3

Reescreva $e^{- 3 x}$ como ${(e^{- x})}^{3}$ .

$\frac{3 ({(e^{- x - h})}^{3} - {(e^{- x})}^{3})}{h}$

Etapa 4.6.4

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = e^{- x - h}$ e $b = e^{- x}$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) ({(e^{- x - h})}^{2} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Etapa 4.6.5

Simplifique.

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Etapa 4.6.5.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{- x - h})}^{2}$ .

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Etapa 4.6.5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{(- x - h) \cdot 2} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Etapa 4.6.5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- x \cdot 2 - h \cdot 2} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Etapa 4.6.5.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - h \cdot 2} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Etapa 4.6.5.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Etapa 4.6.5.2

Multiplique $e^{- x - h}$ por $e^{- x}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.6.5.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- x - h - x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Etapa 4.6.5.2.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- 2 x - h} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

Etapa 4.6.5.3

Multiplique os expoentes em ${(e^{- x})}^{2}$ .

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Etapa 4.6.5.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- 2 x - h} + e^{- x \cdot 2}))}{h}$

Etapa 4.6.5.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x}))}{h}$

$\frac{3 (e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x})}{h}$

Etapa 5