Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 x - 1}{3 x + 5}$

Etapa 1

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h) - 1}{3 (x + h) + 5}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{2 x + 2 h - 1}{3 (x + h) + 5}$

Etapa 2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$

Etapa 2.1.2.3

A resposta final é $\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$ .

$\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$

$f (x) = \frac{2 x - 1}{3 x + 5}$

$f (x + h) = \frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$

$f (x) = \frac{2 x - 1}{3 x + 5}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5} - (\frac{2 x - 1}{3 x + 5})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Para escrever $\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 x + 5}{3 x + 5}$ .

$\frac{\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5} \cdot \frac{3 x + 5}{3 x + 5} - \frac{2 x - 1}{3 x + 5}}{h}$

Etapa 4.1.2

Para escrever $- \frac{2 x - 1}{3 x + 5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 x + 3 h + 5}{3 x + 3 h + 5}$ .

$\frac{\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5} \cdot \frac{3 x + 5}{3 x + 5} - \frac{2 x - 1}{3 x + 5} \cdot \frac{3 x + 3 h + 5}{3 x + 3 h + 5}}{h}$

Etapa 4.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1.3.1

Multiplique $\frac{2 x + 2 h - 1}{3 x + 3 h + 5}$ por $\frac{3 x + 5}{3 x + 5}$ .

$\frac{\frac{(2 x + 2 h - 1) (3 x + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)} - \frac{2 x - 1}{3 x + 5} \cdot \frac{3 x + 3 h + 5}{3 x + 3 h + 5}}{h}$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $\frac{2 x - 1}{3 x + 5}$ por $\frac{3 x + 3 h + 5}{3 x + 3 h + 5}$ .

$\frac{\frac{(2 x + 2 h - 1) (3 x + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)} - \frac{(2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 5) (3 x + 3 h + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.3.3

Reordene os fatores de $(3 x + 5) (3 x + 3 h + 5)$ .

$\frac{\frac{(2 x + 2 h - 1) (3 x + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)} - \frac{(2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{(2 x + 2 h - 1) (3 x + 5) - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5

Reescreva $\frac{(2 x + 2 h - 1) (3 x + 5) - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.1.5.1

Expanda $(2 x + 2 h - 1) (3 x + 5)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{\frac{2 x (3 x) + 2 x \cdot 5 + 2 h (3 x) + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.5.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{2 \cdot 3 x \cdot x + 2 x \cdot 5 + 2 h (3 x) + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.5.2.2.1

Mova $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 3 (x \cdot x) + 2 x \cdot 5 + 2 h (3 x) + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 3 x^{2} + 2 x \cdot 5 + 2 h (3 x) + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 2 x \cdot 5 + 2 h (3 x) + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.4

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 10 x + 2 h (3 x) + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{6 x^{2} + 10 x + 2 \cdot 3 h x + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.6

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 10 x + 6 h x + 2 h \cdot 5 - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.7

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 10 x + 6 h x + 10 h - 1 (3 x) - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.8

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 10 x + 6 h x + 10 h - 3 x - 1 \cdot 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.9

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 10 x + 6 h x + 10 h - 3 x - 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3

Subtraia $3 x$ de $10 x$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - (2 x - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 + (- (2 x) - - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 + (- 2 x - - 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 + (- 2 x + 1) (3 x + 3 h + 5)}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.7

Expanda $(- 2 x + 1) (3 x + 3 h + 5)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 2 x (3 x) - 2 x (3 h) - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.5.8.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 2 \cdot 3 x \cdot x - 2 x (3 h) - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.5.8.2.1

Mova $x$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 2 \cdot 3 (x \cdot x) - 2 x (3 h) - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 2 \cdot 3 x^{2} - 2 x (3 h) - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8.3

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 2 x (3 h) - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 2 \cdot 3 x h - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8.5

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 6 x h - 2 x \cdot 5 + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8.6

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 6 x h - 10 x + 1 (3 x) + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8.7

Multiplique $3 x$ por $1$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 6 x h - 10 x + 3 x + 1 (3 h) + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8.8

Multiplique $3 h$ por $1$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 6 x h - 10 x + 3 x + 3 h + 1 \cdot 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8.9

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 6 x h - 10 x + 3 x + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.9

Some $- 10 x$ e $3 x$ .

$\frac{\frac{6 x^{2} + 7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x^{2} - 6 x h - 7 x + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.10

Subtraia $6 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{\frac{7 x + 6 h x + 10 h - 5 + 0 - 6 x h - 7 x + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.11

Some $7 x$ e $0$ .

$\frac{\frac{7 x + 6 h x + 10 h - 5 - 6 x h - 7 x + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.12

Subtraia $7 x$ de $7 x$ .

$\frac{\frac{6 h x + 10 h - 5 - 6 x h + 0 + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.13

Subtraia $6 x h$ de $6 h x$ .

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Etapa 4.1.5.13.1

Mova $h$ .

$\frac{\frac{10 h - 5 + 6 x h - 6 x h + 0 + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.13.2

Subtraia $6 x h$ de $6 x h$ .

$\frac{\frac{10 h - 5 + 0 + 0 + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.14

Some $10 h$ e $0$ .

$\frac{\frac{10 h - 5 + 0 + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.15

Some $10 h$ e $0$ .

$\frac{\frac{10 h - 5 + 3 h + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.16

Some $10 h$ e $3 h$ .

$\frac{\frac{13 h - 5 + 5}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.17

Some $- 5$ e $5$ .

$\frac{\frac{13 h + 0}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.1.5.18

Some $13 h$ e $0$ .

$\frac{\frac{13 h}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}}{h}$

Etapa 4.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{13 h}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore $h$ de $13 h$ .

$\frac{h \cdot 13}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{h \cdot 13}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{13}{(3 x + 3 h + 5) (3 x + 5)}$

Etapa 5