Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ , $1 \leq x \leq 7$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ como uma equação.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$

Etapa 2

Substitua usando a fórmula da taxa de variação média.

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Etapa 2.1

Para encontrar a taxa de variação média de uma função, calcula-se a variação nos valores de $y$ dos dois pontos e divide-se pela variação nos valores de $x$ dos dois pontos.

$\frac{f (7) - f (1)}{(7) - (1)}$

Etapa 2.2

Substitua a equação $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ por $f (7)$ e $f (1)$ , substituindo $x$ na função pelo valor $x$ correspondente.

$\frac{(\frac{\sqrt{{(7)}^{2} - 1}}{7}) - (\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{1})}{(7) - (1)}$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1

Divida $\sqrt{{(1)}^{2} - 1}$ por $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{{(7)}^{2} - 1}}{7} - \sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{(7) - (1)}$

Etapa 3.2

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $7$ .

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Etapa 3.2.1

Multiplique $\frac{\frac{\sqrt{7^{2} - 1}}{7} - \sqrt{1^{2} - 1}}{7 - (1)}$ por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7}{7} \cdot \frac{\frac{\sqrt{7^{2} - 1}}{7} - \sqrt{1^{2} - 1}}{7 - (1)}$

Etapa 3.2.2

Combine.

$\frac{7 (\frac{\sqrt{7^{2} - 1}}{7} - \sqrt{1^{2} - 1})}{7 (7 - (1))}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 \frac{\sqrt{7^{2} - 1}}{7} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 \frac{\sqrt{7^{2} - 1}}{7} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Etapa 3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{7^{2} - 1} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - 1} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Etapa 3.5.2

Subtraia $1$ de $49$ .

$\frac{\sqrt{48} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Etapa 3.5.3

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 3.5.3.1

Fatore $16$ de $48$ .

$\frac{\sqrt{16 (3)} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Etapa 3.5.3.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 3} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Etapa 3.5.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{4 \sqrt{3} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Etapa 3.5.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{4 \sqrt{3} + 7 (- \sqrt{1 - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Etapa 3.5.6

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3} + 7 (- \sqrt{0})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Etapa 3.5.7

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} + 7 (- \sqrt{0^{2}})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Etapa 3.5.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{4 \sqrt{3} + 7 (- 0)}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Etapa 3.5.9

Multiplique $7 (- 0)$ .

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Etapa 3.5.9.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{4 \sqrt{3} + 7 \cdot 0}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Etapa 3.5.9.2

Multiplique $7$ por $0$ .

$\frac{4 \sqrt{3} + 0}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Etapa 3.5.10

Some $4 \sqrt{3}$ e $0$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

Etapa 3.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $7$ por $7$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{49 + 7 (- (1))}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $7 (- (1))$ .

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Etapa 3.6.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{49 + 7 \cdot - 1}$

Etapa 3.6.2.2

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{49 - 7}$

Etapa 3.6.3

Subtraia $7$ de $49$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{42}$

Etapa 3.7

Cancele o fator comum de $4$ e $42$ .

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Etapa 3.7.1

Fatore $2$ de $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{3})}{42}$

Etapa 3.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.7.2.1

Fatore $2$ de $42$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{3})}{2 (21)}$

Etapa 3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 21}$

Etapa 3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{3}}{21}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2 \sqrt{3}}{21}$

Forma decimal:

$0.16495721 \dots$