Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \cot (x)$ , $[\frac{2 π}{3}, \frac{3 π}{2}]$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \cot (x)$ como uma equação.

$y = \cot (x)$

Etapa 2

Substitua usando a fórmula da taxa de variação média.

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Etapa 2.1

Para encontrar a taxa de variação média de uma função, calcula-se a variação nos valores de $y$ dos dois pontos e divide-se pela variação nos valores de $x$ dos dois pontos.

$\frac{f (\frac{3 π}{2}) - f (\frac{2 π}{3})}{(\frac{3 π}{2}) - (\frac{2 π}{3})}$

Etapa 2.2

Substitua a equação $y = \cot (x)$ por $f (\frac{3 π}{2})$ e $f (\frac{2 π}{3})$ , substituindo $x$ na função pelo valor $x$ correspondente.

$\frac{(\cot (\frac{3 π}{2})) - (\cot (\frac{2 π}{3}))}{(\frac{3 π}{2}) - (\frac{2 π}{3})}$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $6$ .

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Etapa 3.1.1

Multiplique $\frac{\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{2 π}{3})}{\frac{3 π}{2} - \frac{2 π}{3}}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{2 π}{3})}{\frac{3 π}{2} - \frac{2 π}{3}}$

Etapa 3.1.2

Combine.

$\frac{6 (\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{2 π}{3}))}{6 (\frac{3 π}{2} - \frac{2 π}{3})}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{6 \frac{3 π}{2} + 6 (- \frac{2 π}{3})}$

Etapa 3.3

Simplifique cancelando.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{2 (3) \frac{3 π}{2} + 6 (- \frac{2 π}{3})}$

Etapa 3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{2 \cdot 3 \frac{3 π}{2} + 6 (- \frac{2 π}{3})}$

Etapa 3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{3 (3 π) + 6 (- \frac{2 π}{3})}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π + 6 (- \frac{2 π}{3})}$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 π}{3}$ para o numerador.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π + 6 \frac{- 2 π}{3}}$

Etapa 3.3.3.2

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π + 3 (2) \frac{- 2 π}{3}}$

Etapa 3.3.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π + 3 \cdot 2 \frac{- 2 π}{3}}$

Etapa 3.3.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π + 2 (- 2 π)}$

Etapa 3.3.4

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Fatore $6$ de $6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{2 π}{3}))$ .

$\frac{6 (\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Etapa 3.4.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a cotangente é negativa no quarto quadrante.

$\frac{6 (- \cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Etapa 3.4.3

O valor exato de $\cot (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{6 (- 0 - \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Etapa 3.4.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{6 (0 - \cot (\frac{2 π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Etapa 3.4.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a cotangente é negativa no segundo quadrante.

$\frac{6 (0 - - \cot (\frac{π}{3}))}{9 π - 4 π}$

Etapa 3.4.6

O valor exato de $\cot (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{1}{\sqrt{3}})}{9 π - 4 π}$

Etapa 3.4.7

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6 (0 - - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}))}{9 π - 4 π}$

Etapa 3.4.8

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.8.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}{9 π - 4 π}$

Etapa 3.4.8.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}{9 π - 4 π}$

Etapa 3.4.8.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}{9 π - 4 π}$

Etapa 3.4.8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}{9 π - 4 π}$

Etapa 3.4.8.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}{9 π - 4 π}$

Etapa 3.4.8.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 3.4.8.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{9 π - 4 π}$

Etapa 3.4.8.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{9 π - 4 π}$

Etapa 3.4.8.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}{9 π - 4 π}$

Etapa 3.4.8.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.8.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}{9 π - 4 π}$

Etapa 3.4.8.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{3^{1}})}{9 π - 4 π}$

Etapa 3.4.8.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{6 (0 - - \frac{\sqrt{3}}{3})}{9 π - 4 π}$

Etapa 3.4.9

Multiplique $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Etapa 3.4.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{6 (0 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}{9 π - 4 π}$

Etapa 3.4.9.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{3}$ por $1$ .

$\frac{6 (0 + \frac{\sqrt{3}}{3})}{9 π - 4 π}$

Etapa 3.4.10

Some $0$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{6 \frac{\sqrt{3}}{3}}{9 π - 4 π}$

Etapa 3.5

Simplifique os termos.

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Etapa 3.5.1

Subtraia $4 π$ de $9 π$ .

$\frac{6 \frac{\sqrt{3}}{3}}{5 π}$

Etapa 3.5.2

Combine $6$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3}}{3}}{5 π}$

Etapa 3.6

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 3.6.1

Reduza a expressão $\frac{6 \sqrt{3}}{3}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 3.6.1.1

Fatore $3$ de $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{3 (2 \sqrt{3})}{3}}{5 π}$

Etapa 3.6.1.2

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{\frac{3 (2 \sqrt{3})}{3 (1)}}{5 π}$

Etapa 3.6.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{3 (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}}{5 π}$

Etapa 3.6.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{1}}{5 π}$

Etapa 3.6.2

Divida $2 \sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{5 π}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2 \sqrt{3}}{5 π}$

Forma decimal:

$0.22053155 \dots$