Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} + 2 x - 1$ ;, $[- 3, - \frac{5}{2}]$

Etapa 1

Escreva $f (x) = x^{2} + 2 x - 1$ como uma equação.

$y = x^{2} + 2 x - 1$

Etapa 2

Substitua usando a fórmula da taxa de variação média.

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Etapa 2.1

Para encontrar a taxa de variação média de uma função, calcula-se a variação nos valores de $y$ dos dois pontos e divide-se pela variação nos valores de $x$ dos dois pontos.

$\frac{f (- \frac{5}{2}) - f (- 3)}{(- \frac{5}{2}) - (- 3)}$

Etapa 2.2

Substitua a equação $y = x^{2} + 2 x - 1$ por $f (- \frac{5}{2})$ e $f (- 3)$ , substituindo $x$ na função pelo valor $x$ correspondente.

$\frac{({(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1) - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1)}{(- \frac{5}{2}) - (- 3)}$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $2$ .

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Etapa 3.1.1

Multiplique $\frac{{(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1 - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1)}{- \frac{5}{2} - (- 3)}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{{(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1 - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1)}{- \frac{5}{2} - (- 3)}$

Etapa 3.1.2

Combine.

$\frac{2 ({(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1 - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (- \frac{5}{2} - (- 3))}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (- \frac{5}{2}) + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5}{2}$ para o numerador.

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (\frac{- 5}{2}) + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (\frac{- 5}{2}) + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 3.4.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5}{2}$ .

$\frac{2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$\frac{2 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{2 (1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$\frac{2 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.4.1

Fatore $2$ de $2^{2}$ .

$\frac{2 \frac{5^{2}}{2 \cdot 2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \frac{5^{2}}{2 \cdot 2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{5^{2}}{2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.5

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{\frac{25}{2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{25}{2} + 4 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5}{2}$ para o numerador.

$\frac{\frac{25}{2} + 4 (\frac{- 5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.7.2

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{\frac{25}{2} + 2 (2) \frac{- 5}{2} + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.7.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{25}{2} + 2 \cdot 2 \frac{- 5}{2} + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.7.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{25}{2} + 2 \cdot - 5 + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.8

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.9

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.10

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.10.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- (9 + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.10.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- (9 - 6 - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.11

Subtraia $6$ de $9$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- (3 - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.12

Subtraia $1$ de $3$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- 1 \cdot 2)}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.13

Multiplique $2 (- 1 \cdot 2)$ .

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Etapa 3.4.13.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 \cdot - 2}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.13.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.14

Para escrever $- 10$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{25}{2} - 10 \cdot \frac{2}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.15

Combine $- 10$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{25}{2} + \frac{- 10 \cdot 2}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{25 - 10 \cdot 2}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.17

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.17.1

Multiplique $- 10$ por $2$ .

$\frac{\frac{25 - 20}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.17.2

Subtraia $20$ de $25$ .

$\frac{\frac{5}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.18

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{5}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.19

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{5}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.20

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{5 - 2 \cdot 2}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.21

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.21.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{\frac{5 - 4}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.21.2

Subtraia $4$ de $5$ .

$\frac{\frac{1}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.22

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.23

Combine $- 4$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.24

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{1 - 4 \cdot 2}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.25

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.25.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{\frac{1 - 8}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.25.2

Subtraia $8$ de $1$ .

$\frac{\frac{- 7}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.4.26

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{- \frac{7}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

Etapa 3.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $2 (- (- 3))$ .

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Etapa 3.5.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{- \frac{7}{2}}{- 5 + 2 \cdot 3}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{- \frac{7}{2}}{- 5 + 6}$

Etapa 3.5.2

Some $- 5$ e $6$ .

$\frac{- \frac{7}{2}}{1}$

Etapa 3.6

Divida $- \frac{7}{2}$ por $1$ .

$- \frac{7}{2}$