Pré-cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{x}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{1}{x}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{x}$

Etapa 2

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 3

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 3.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

Etapa 3.1.2

A resposta final é $\frac{1}{x + h}$ .

$\frac{1}{x + h}$

Etapa 3.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

Etapa 4

Substitua os componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{x + h} - (\frac{1}{x})}{h}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Para escrever $\frac{1}{x + h}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{h}$

Etapa 5.1.2

Para escrever $- \frac{1}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Etapa 5.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + h) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.1.3.1

Multiplique $\frac{1}{x + h}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Etapa 5.1.3.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 5.1.3.3

Reordene os fatores de $(x + h) x$ .

$\frac{\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 5.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 5.1.5

Reescreva $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 5.1.5.2

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 5.1.5.3

Subtraia $h$ de $0$ .

$\frac{\frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 5.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{- \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 5.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{h}{x (x + h)}$ para o numerador.

$\frac{- h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 5.3.2

Fatore $h$ de $- h$ .

$\frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 5.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{x (x + h)}$

Etapa 5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{x (x + h)}$

Etapa 6