Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 2 x - 4$

Etapa 1

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2} - 2 (x + h) - 4$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Use o teorema binomial.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - {(x + h)}^{2} - 2 (x + h) - 4$

Etapa 2.1.2.1.2

Reescreva ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - ((x + h) (x + h)) - 2 (x + h) - 4$

Etapa 2.1.2.1.3

Expanda $(x + h) (x + h)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - (x (x + h) + h (x + h)) - 2 (x + h) - 4$

Etapa 2.1.2.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 2 (x + h) - 4$

Etapa 2.1.2.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 2 (x + h) - 4$

Etapa 2.1.2.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 2 (x + h) - 4$

Etapa 2.1.2.1.4.1.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 2 (x + h) - 4$

Etapa 2.1.2.1.4.2

Some $x h$ e $h x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.4.2.1

Reordene $x$ e $h$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 2 (x + h) - 4$

Etapa 2.1.2.1.4.2.2

Some $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 2 (x + h) - 4$

Etapa 2.1.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - x^{2} - (2 h x) - h^{2} - 2 (x + h) - 4$

Etapa 2.1.2.1.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - x^{2} - 2 (h x) - h^{2} - 2 (x + h) - 4$

Etapa 2.1.2.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 2 x - 2 h - 4$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 2 x - 2 h - 4$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 2 x - 2 h - 4$

Etapa 2.2

Reordene.

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Etapa 2.2.1

Mova $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 2 x - 2 h - 4$

Etapa 2.2.2

Mova $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 2 x - 2 h - 4$

Etapa 2.2.3

Mova $- 2 x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 2 h - 2 x - 4$

Etapa 2.2.4

Mova $- x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2 h x - h^{2} - x^{2} - 2 h - 2 x - 4$

Etapa 2.2.5

Mova $- 2 h x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4$

Etapa 2.2.6

Mova $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4$

Etapa 2.2.7

Mova $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4$

Etapa 2.2.8

Reordene $3 h^{2} x$ e $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4$

Etapa 2.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4$

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 2 x - 4$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4$

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 2 x - 4$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4 - (x^{3} - x^{2} - 2 x - 4)}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4 - x^{3} - - x^{2} - (- 2 x) - - 4}{h}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- - x^{2}$ .

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Etapa 4.1.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4 - x^{3} + 1 x^{2} - (- 2 x) - - 4}{h}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4 - x^{3} + x^{2} - (- 2 x) - - 4}{h}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4 - x^{3} + x^{2} + 2 x - - 4}{h}$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4 - x^{3} + x^{2} + 2 x + 4}{h}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4 + 0 + x^{2} + 2 x + 4}{h}$

Etapa 4.1.4

Some $h^{3}$ e $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 2 h - 2 x - 4 + x^{2} + 2 x + 4}{h}$

Etapa 4.1.5

Some $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 2 h - 2 x - 4 + 0 + 2 x + 4}{h}$

Etapa 4.1.6

Some $h^{3}$ e $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 2 h - 2 x - 4 + 2 x + 4}{h}$

Etapa 4.1.7

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 2 h + 0 - 4 + 4}{h}$

Etapa 4.1.8

Some $h^{3}$ e $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 2 h - 4 + 4}{h}$

Etapa 4.1.9

Some $- 4$ e $4$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 2 h + 0}{h}$

Etapa 4.1.10

Some $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 2 h$ e $0$ .

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 2 h}{h}$

Etapa 4.1.11

Fatore $h$ de $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 2 h$ .

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Etapa 4.1.11.1

Fatore $h$ de $h^{3}$ .

$\frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 2 h}{h}$

Etapa 4.1.11.2

Fatore $h$ de $3 h^{2} x$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 2 h}{h}$

Etapa 4.1.11.3

Fatore $h$ de $3 h x^{2}$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) - h^{2} - 2 h x - 2 h}{h}$

Etapa 4.1.11.4

Fatore $h$ de $- h^{2}$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- h) - 2 h x - 2 h}{h}$

Etapa 4.1.11.5

Fatore $h$ de $- 2 h x$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- h) + h (- 2 x) - 2 h}{h}$

Etapa 4.1.11.6

Fatore $h$ de $- 2 h$ .

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot - 2}{h}$

Etapa 4.1.11.7

Fatore $h$ de $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot - 2}{h}$

Etapa 4.1.11.8

Fatore $h$ de $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot - 2}{h}$

Etapa 4.1.11.9

Fatore $h$ de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h) + h (- 2 x) + h \cdot - 2}{h}$

Etapa 4.1.11.10

Fatore $h$ de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h) + h (- 2 x)$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h - 2 x) + h \cdot - 2}{h}$

Etapa 4.1.11.11

Fatore $h$ de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h - 2 x) + h \cdot - 2$ .

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h - 2 x - 2)}{h}$

Etapa 4.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h - 2 x - 2)}{h}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h - 2 x - 2$ por $1$ .

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h - 2 x - 2$

Etapa 4.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Mova $h$ .

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - h - 2 x - 2$

Etapa 4.2.2.2

Mova $- h$ .

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 2 x - h - 2$

Etapa 4.2.2.3

Mova $h^{2}$ .

$3 x h + 3 x^{2} + h^{2} - 2 x - h - 2$

Etapa 4.2.2.4

Reordene $3 x h$ e $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x h + h^{2} - 2 x - h - 2$

Etapa 5