Pré-cálculo Exemplos

$p (t) = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$ on $- 3$ , $1$

Etapa 1

Escreva $p (t) = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$ como uma equação.

$y = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$

Etapa 2

Substitua usando a fórmula da taxa de variação média.

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Etapa 2.1

Para encontrar a taxa de variação média de uma função, calcula-se a variação nos valores de $y$ dos dois pontos e divide-se pela variação nos valores de $t$ dos dois pontos.

$\frac{f (1) - f (- 3)}{(1) - (- 3)}$

Etapa 2.2

Substitua a equação $y = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$ por $f (1)$ e $f (- 3)$ , substituindo $t$ na função pelo valor $t$ correspondente.

$\frac{(\frac{({(1)}^{2} - 4) ((1) + 1)}{{(1)}^{2} + 3}) - (\frac{({(- 3)}^{2} - 4) ((- 3) + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1) - (- 3)}$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)$ .

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Etapa 3.1.1

Multiplique $\frac{\frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} - \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{1 - (- 3)}$ por $\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)}$ .

$\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)} \cdot \frac{\frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} - \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{1 - (- 3)}$

Etapa 3.1.2

Combine.

$\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (\frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} - \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (1 - (- 3))}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.3

Simplifique cancelando.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $1^{2} + 3$ .

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Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de ${(- 3)}^{2} + 3$ .

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Etapa 3.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}$ para o numerador.

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \frac{- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.3.2.2

Fatore ${(- 3)}^{2} + 3$ de $(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)$ .

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + ({(- 3)}^{2} + 3) (1^{2} + 3) \frac{- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.3.2.3

Cancele o fator comum.

Etapa 3.3.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$\frac{(9 + 3) (1^{2} - 4) (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.4.2

Some $9$ e $3$ .

$\frac{12 (1^{2} - 4) (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.4.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{12 (1 - 4) (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.4.4

Subtraia $4$ de $1$ .

$\frac{12 \cdot - 3 (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.4.5

Multiplique $12$ por $- 3$ .

$\frac{- 36 (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 36 \cdot 2 + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.4.7

Multiplique $- 36$ por $2$ .

$\frac{- 72 + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.4.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{- 72 + (1 + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.4.9

Some $1$ e $3$ .

$\frac{- 72 + 4 (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.4.10

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$\frac{- 72 + 4 (- (9 - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.4.11

Subtraia $4$ de $9$ .

$\frac{- 72 + 4 (- 1 \cdot 5 (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.4.12

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{- 72 + 4 (- 5 (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.4.13

Some $- 3$ e $1$ .

$\frac{- 72 + 4 (- 5 \cdot - 2)}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.4.14

Multiplique $4 (- 5 \cdot - 2)$ .

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Etapa 3.4.14.1

Multiplique $- 5$ por $- 2$ .

$\frac{- 72 + 4 \cdot 10}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.4.14.2

Multiplique $4$ por $10$ .

$\frac{- 72 + 40}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.4.15

Some $- 72$ e $40$ .

$\frac{- 32}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{- 32}{(1 + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.5.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{- 32}{4 ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.5.3

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$\frac{- 32}{4 (9 + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.5.4

Some $9$ e $3$ .

$\frac{- 32}{4 \cdot 12 \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.5.5

Multiplique $4 \cdot 12 \cdot 1$ .

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Etapa 3.5.5.1

Multiplique $4$ por $12$ .

$\frac{- 32}{48 \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.5.5.2

Multiplique $48$ por $1$ .

$\frac{- 32}{48 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.5.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{- 32}{48 + (1 + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.5.7

Some $1$ e $3$ .

$\frac{- 32}{48 + 4 ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.5.8

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$\frac{- 32}{48 + 4 (9 + 3) (- (- 3))}$

Etapa 3.5.9

Some $9$ e $3$ .

$\frac{- 32}{48 + 4 \cdot 12 (- (- 3))}$

Etapa 3.5.10

Multiplique $4 \cdot 12 (- (- 3))$ .

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Etapa 3.5.10.1

Multiplique $4$ por $12$ .

$\frac{- 32}{48 + 48 (- (- 3))}$

Etapa 3.5.10.2

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 32}{48 + 48 \cdot 3}$

Etapa 3.5.10.3

Multiplique $48$ por $3$ .

$\frac{- 32}{48 + 144}$

Etapa 3.5.11

Some $48$ e $144$ .

$\frac{- 32}{192}$

Etapa 3.6

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 3.6.1

Cancele o fator comum de $- 32$ e $192$ .

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Etapa 3.6.1.1

Fatore $32$ de $- 32$ .

$\frac{32 (- 1)}{192}$

Etapa 3.6.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.6.1.2.1

Fatore $32$ de $192$ .

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 6}$

Etapa 3.6.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 6}$

Etapa 3.6.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{6}$

Etapa 3.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{6}$