Pré-cálculo Exemplos

$C (t) = \frac{0.2 t}{t^{2} + 9}$

Etapa 1

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie a função em $x = t + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável $t$ por $t + h$ na expressão.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{{(t + h)}^{2} + 9}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Reescreva ${(t + h)}^{2}$ como $(t + h) (t + h)$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{(t + h) (t + h) + 9}$

Etapa 2.1.2.1.2

Expanda $(t + h) (t + h)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t (t + h) + h (t + h) + 9}$

Etapa 2.1.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t \cdot t + t h + h (t + h) + 9}$

Etapa 2.1.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t \cdot t + t h + h t + h \cdot h + 9}$

Etapa 2.1.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.3.1.1

Multiplique $t$ por $t$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + t h + h t + h \cdot h + 9}$

Etapa 2.1.2.1.3.1.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + t h + h t + h^{2} + 9}$

Etapa 2.1.2.1.3.2

Some $t h$ e $h t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.3.2.1

Reordene $t$ e $h$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + h t + h t + h^{2} + 9}$

Etapa 2.1.2.1.3.2.2

Some $h t$ e $h t$ .

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}$ .

$\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}$

$C (t) = \frac{0.2 t}{t^{2} + 9}$

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}$

$C (t) = \frac{0.2 t}{t^{2} + 9}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$\frac{C (t + h) - C t}{h} = \frac{\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9} - (\frac{0.2 t}{t^{2} + 9})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Para escrever $\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{t^{2} + 9}{t^{2} + 9}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9} \cdot \frac{t^{2} + 9}{t^{2} + 9} - \frac{0.2 t}{t^{2} + 9}}{h}$

Etapa 4.1.2

Para escrever $- \frac{0.2 t}{t^{2} + 9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9} \cdot \frac{t^{2} + 9}{t^{2} + 9} - \frac{0.2 t}{t^{2} + 9} \cdot \frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}}{h}$

Etapa 4.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Multiplique $\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}$ por $\frac{t^{2} + 9}{t^{2} + 9}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)} - \frac{0.2 t}{t^{2} + 9} \cdot \frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}}{h}$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $\frac{0.2 t}{t^{2} + 9}$ por $\frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)} - \frac{0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9)}{(t^{2} + 9) (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.3.3

Reordene os fatores de $(t^{2} + 9) (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9)$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)} - \frac{0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 9) - 0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5

Reescreva $\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 9) - 0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Fatore $0.2$ de $0.2 (t + h) (t^{2} + 9) - 0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1.1

Mova $h$ .

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 9) - 0.2 t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.1.2

Fatore $0.2$ de $0.2 (t + h) (t^{2} + 9)$ .

$\frac{\frac{0.2 ((t + h) (t^{2} + 9)) - 0.2 t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.1.3

Fatore $0.2$ de $- 0.2 t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9)$ .

$\frac{\frac{0.2 ((t + h) (t^{2} + 9)) + 0.2 (- t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.1.4

Fatore $0.2$ de $0.2 ((t + h) (t^{2} + 9)) + 0.2 (- t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9))$ .

$\frac{\frac{0.2 ((t + h) (t^{2} + 9) - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2

Expanda $(t + h) (t^{2} + 9)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{0.2 (t (t^{2} + 9) + h (t^{2} + 9) - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{0.2 (t \cdot t^{2} + t \cdot 9 + h (t^{2} + 9) - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{0.2 (t \cdot t^{2} + t \cdot 9 + h t^{2} + h \cdot 9 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.3.1

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.3.1.1

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.3.1.1.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{1} t^{2} + t \cdot 9 + h t^{2} + h \cdot 9 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{0.2 (t^{1 + 2} + t \cdot 9 + h t^{2} + h \cdot 9 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3.1.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + t \cdot 9 + h t^{2} + h \cdot 9 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3.2

Mova $9$ para a esquerda de $t$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 9 \cdot t + h t^{2} + h \cdot 9 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3.3

Mova $9$ para a esquerda de $h$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 9 t + h t^{2} + 9 h - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 9))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 9 t + h t^{2} + 9 h - t \cdot t^{2} - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.5.1

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.5.1.1

Mova $t^{2}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 9 t + h t^{2} + 9 h - (t^{2} t) - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5.1.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.5.1.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 9 t + h t^{2} + 9 h - (t^{2} t^{1}) - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 9 t + h t^{2} + 9 h - t^{2 + 1} - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5.1.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 9 t + h t^{2} + 9 h - t^{3} - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5.2

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.5.2.1

Mova $t$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 9 t + h t^{2} + 9 h - t^{3} - (t \cdot t) (2 h) - t h^{2} - t \cdot 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5.2.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 9 t + h t^{2} + 9 h - t^{3} - t^{2} (2 h) - t h^{2} - t \cdot 9)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5.3

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 9 t + h t^{2} + 9 h - t^{3} - t^{2} (2 h) - t h^{2} - 9 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.6.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 9 t + h t^{2} + 9 h - t^{3} - 1 \cdot 2 t^{2} h - t h^{2} - 9 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 9 t + h t^{2} + 9 h - t^{3} - 2 t^{2} h - t h^{2} - 9 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.7

Subtraia $t^{3}$ de $t^{3}$ .

$\frac{\frac{0.2 (9 t + h t^{2} + 9 h + 0 - 2 t^{2} h - t h^{2} - 9 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8

Some $9 t$ e $0$ .

$\frac{\frac{0.2 (9 t + h t^{2} + 9 h - 2 t^{2} h - t h^{2} - 9 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.9

Subtraia $9 t$ de $9 t$ .

$\frac{\frac{0.2 (h t^{2} + 9 h - 2 t^{2} h - t h^{2} + 0)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.10

Some $h t^{2} + 9 h - 2 t^{2} h - t h^{2}$ e $0$ .

$\frac{\frac{0.2 (h t^{2} + 9 h - 2 t^{2} h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.11

Subtraia $2 t^{2} h$ de $h t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.11.1

Reordene $h$ e $t^{2}$ .

$\frac{\frac{0.2 (t^{2} h - 2 t^{2} h + 9 h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.11.2

Subtraia $2 t^{2} h$ de $t^{2} h$ .

$\frac{\frac{0.2 (- t^{2} h + 9 h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.12

Fatore $h$ de $- t^{2} h + 9 h - t h^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.12.1

Fatore $h$ de $- t^{2} h$ .

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2}) + 9 h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.12.2

Fatore $h$ de $9 h$ .

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2}) + h \cdot 9 - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.12.3

Fatore $h$ de $- t h^{2}$ .

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2}) + h \cdot 9 + h (- t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.12.4

Fatore $h$ de $h (- t^{2}) + h \cdot 9$ .

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2} + 9) + h (- t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.1.5.12.5

Fatore $h$ de $h (- t^{2} + 9) + h (- t h)$ .

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2} + 9 - t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

$\frac{\frac{0.2 h (- t^{2} + 9 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}}{h}$

Etapa 4.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{0.2 h (- t^{2} + 9 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3

Combine.

$\frac{0.2 h (- t^{2} + 9 - t h) \cdot 1}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9) h}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.2 h (- t^{2} + 9 - t h) \cdot 1}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9) h}$

Etapa 4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{0.2 (- t^{2} + 9 - t h) \cdot 1}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$

Etapa 4.5

Multiplique $0.2$ por $1$ .

$\frac{0.2 (- t^{2} + 9 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$

Etapa 4.6

Fatore $- 1$ de $- t^{2}$ .

$\frac{0.2 (- (t^{2}) + 9 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$

Etapa 4.7

Reescreva $9$ como $- 1 (- 9)$ .

$\frac{0.2 (- (t^{2}) - 1 (- 9) - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$

Etapa 4.8

Fatore $- 1$ de $- (t^{2}) - 1 (- 9)$ .

$\frac{0.2 (- (t^{2} - 9) - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$

Etapa 4.9

Fatore $- 1$ de $- t h$ .

$\frac{0.2 (- (t^{2} - 9) - (t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$

Etapa 4.10

Fatore $- 1$ de $- (t^{2} - 9) - (t h)$ .

$\frac{0.2 (- (t^{2} - 9 + t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$

Etapa 4.11

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.11.1

Reescreva $- (t^{2} - 9 + t h)$ como $- 1 (t^{2} - 9 + t h)$ .

$\frac{0.2 (- 1 (t^{2} - 9 + t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$

Etapa 4.11.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{0.2 (t^{2} - 9 + t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$

Etapa 5