Pré-cálculo Exemplos

Given the function $h (x) = - x^{2} + x + 4$ , determine the average rate of change of the function over the interval $- 1 \leq x \leq 5$

Etapa 1

Escreva $h (x) = - x^{2} + x + 4$ como uma equação.

$y = - x^{2} + x + 4$

Etapa 2

Substitua usando a fórmula da taxa de variação média.

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Etapa 2.1

Para encontrar a taxa de variação média de uma função, calcula-se a variação nos valores de $y$ dos dois pontos e divide-se pela variação nos valores de $x$ dos dois pontos.

$\frac{f (5) - f (- 1)}{(5) - (- 1)}$

Etapa 2.2

Substitua a equação $y = - x^{2} + x + 4$ por $f (5)$ e $f (- 1)$ , substituindo $x$ na função pelo valor $x$ correspondente.

$\frac{- {(5)}^{2} + 5 + 4 - (- {(- 1)}^{2} - 1 + 4)}{(5) - (- 1)}$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1

Remova os parênteses.

$\frac{- {(5)}^{2} + 5 + 4 - (- {(- 1)}^{2} - 1 + 4)}{(5) - (- 1)}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 25 + 5 + 4 - (- {(- 1)}^{2} - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$\frac{- 25 + 5 + 4 - (- {(- 1)}^{2} - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

Etapa 3.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.3.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.3.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Etapa 3.2.3.1.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$\frac{- 25 + 5 + 4 - ({(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2} - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

Etapa 3.2.3.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 25 + 5 + 4 - ({(- 1)}^{1 + 2} - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

Etapa 3.2.3.1.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 25 + 5 + 4 - ({(- 1)}^{3} - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

Etapa 3.2.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{- 25 + 5 + 4 - (- 1 - 1 + 4)}{5 - (- 1)}$

Etapa 3.2.4

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 25 + 5 + 4 - (- 2 + 4)}{5 - (- 1)}$

Etapa 3.2.5

Some $- 2$ e $4$ .

$\frac{- 25 + 5 + 4 - 1 \cdot 2}{5 - (- 1)}$

Etapa 3.2.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 25 + 5 + 4 - 2}{5 - (- 1)}$

Etapa 3.2.7

Some $- 25$ e $5$ .

$\frac{- 20 + 4 - 2}{5 - (- 1)}$

Etapa 3.2.8

Some $- 20$ e $4$ .

$\frac{- 16 - 2}{5 - (- 1)}$

Etapa 3.2.9

Subtraia $2$ de $- 16$ .

$\frac{- 18}{5 - (- 1)}$

Etapa 3.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 18}{5 + 1}$

Etapa 3.3.2

Some $5$ e $1$ .

$\frac{- 18}{6}$

Etapa 3.4

Divida $- 18$ por $6$ .

$- 3$