Pré-cálculo Exemplos

$g (t) = 2 \cos^{2} (t)$ ; $[0, \frac{π}{6}]$

Etapa 1

Escreva $g (t) = 2 \cos^{2} (t)$ como uma equação.

$y = 2 \cos^{2} (t)$

Etapa 2

Substitua usando a fórmula da taxa de variação média.

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Etapa 2.1

Para encontrar a taxa de variação média de uma função, calcula-se a variação nos valores de $y$ dos dois pontos e divide-se pela variação nos valores de $t$ dos dois pontos.

$\frac{f (\frac{π}{6}) - f (0)}{(\frac{π}{6}) - (0)}$

Etapa 2.2

Substitua a equação $y = 2 \cos^{2} (t)$ por $f (\frac{π}{6})$ e $f (0)$ , substituindo $t$ na função pelo valor $t$ correspondente.

$\frac{(2 \cos^{2} (\frac{π}{6})) - (2 \cos^{2} (0))}{(\frac{π}{6}) - (0)}$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $6$ .

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Etapa 3.1.1

Multiplique $\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 2 \cos^{2} (0)}{\frac{π}{6} - (0)}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{6} \cdot \frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 2 \cos^{2} (0)}{\frac{π}{6} - (0)}$

Etapa 3.1.2

Combine.

$\frac{6 (2 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{6 (\frac{π}{6} - (0))}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 (2 \cos^{2} (\frac{π}{6})) + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{6 \frac{π}{6} + 6 (- (0))}$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 (2 \cos^{2} (\frac{π}{6})) + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{6 \frac{π}{6} + 6 (- (0))}$

Etapa 3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{6 (2 \cos^{2} (\frac{π}{6})) + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12 \cos^{2} (\frac{π}{6}) + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Etapa 3.4.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{12 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Etapa 3.4.3

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{12 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Etapa 3.4.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 3.4.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Etapa 3.4.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Etapa 3.4.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{12 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Etapa 3.4.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Etapa 3.4.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{12 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Etapa 3.4.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{12 \frac{3}{2^{2}} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Etapa 3.4.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{12 (\frac{3}{4}) + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Etapa 3.4.6

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.4.6.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{4 (3) \frac{3}{4} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Etapa 3.4.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 3 \frac{3}{4} + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Etapa 3.4.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \cdot 3 + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Etapa 3.4.7

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{9 + 6 (- 1 \cdot 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Etapa 3.4.8

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{9 + 6 (- 2 \cos^{2} (0))}{π + 6 (- (0))}$

Etapa 3.4.9

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{9 + 6 (- 2 \cdot 1^{2})}{π + 6 (- (0))}$

Etapa 3.4.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{9 + 6 (- 2 \cdot 1)}{π + 6 (- (0))}$

Etapa 3.4.11

Multiplique $6 (- 2 \cdot 1)$ .

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Etapa 3.4.11.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{9 + 6 \cdot - 2}{π + 6 (- (0))}$

Etapa 3.4.11.2

Multiplique $6$ por $- 2$ .

$\frac{9 - 12}{π + 6 (- (0))}$

Etapa 3.4.12

Subtraia $12$ de $9$ .

$\frac{- 3}{π + 6 (- (0))}$

Etapa 3.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $6 (- (0))$ .

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Etapa 3.5.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{- 3}{π + 6 \cdot 0}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $6$ por $0$ .

$\frac{- 3}{π + 0}$

Etapa 3.5.2

Some $π$ e $0$ .

$\frac{- 3}{π}$

Etapa 3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{π}$