Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \tan (3 x)$

Etapa 1

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \tan (3 (x + h))$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \tan (3 x + 3 h)$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $\tan (3 x + 3 h)$ .

$\tan (3 x + 3 h)$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \tan (3 x + 3 h)$

$f (x) = \tan (3 x)$

$f (x + h) = \tan (3 x + 3 h)$

$f (x) = \tan (3 x)$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\tan (3 x + 3 h) - (\tan (3 x))}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Use a sum or difference formula on the numerator.

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Etapa 4.1.1

Use a fórmula da soma da tangente para simplificar a expressão. A fórmula determina que $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{(\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}) - (\tan (3 x))}{h}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Para escrever $- \tan (3 x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}$ .

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)} - \tan (3 x) \cdot \frac{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1.2.2.1

Combine $- \tan (3 x)$ e $\frac{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}$ .

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)} + \frac{- \tan (3 x) (1 - \tan (3 x) \tan (3 h))}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Etapa 4.1.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) (1 - \tan (3 x) \tan (3 h))}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Etapa 4.1.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) \cdot 1 - \tan (3 x) (- \tan (3 x) \tan (3 h))}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) - \tan (3 x) (- \tan (3 x) \tan (3 h))}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Etapa 4.1.2.3.3

Multiplique $- \tan (3 x) (- \tan (3 x) \tan (3 h))$ .

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Etapa 4.1.2.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) + 1 \tan (3 x) (\tan (3 x) \tan (3 h))}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Etapa 4.1.2.3.3.2

Multiplique $\tan (3 x)$ por $1$ .

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) + \tan (3 x) (\tan (3 x) \tan (3 h))}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Etapa 4.1.2.3.3.3

Eleve $\tan (3 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) + \tan (3 x) \tan (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Etapa 4.1.2.3.3.4

Eleve $\tan (3 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) + \tan (3 x) \tan (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Etapa 4.1.2.3.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) + {\tan (3 x)}^{1 + 1} \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Etapa 4.1.2.3.3.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{\tan (3 x) + \tan (3 h) - \tan (3 x) + \tan^{2} (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Etapa 4.1.2.3.4

Subtraia $\tan (3 x)$ de $\tan (3 x)$ .

$\frac{\frac{0 + \tan (3 h) + \tan^{2} (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Etapa 4.1.2.3.5

Some $0$ e $\tan (3 h)$ .

$\frac{\frac{\tan (3 h) + \tan^{2} (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Etapa 4.1.2.3.6

Fatore $\tan (3 h)$ de $\tan (3 h) + \tan^{2} (3 x) \tan (3 h)$ .

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Etapa 4.1.2.3.6.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{\frac{\tan (3 h) \cdot 1 + \tan^{2} (3 x) \tan (3 h)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Etapa 4.1.2.3.6.2

Fatore $\tan (3 h)$ de $\tan^{2} (3 x) \tan (3 h)$ .

$\frac{\frac{\tan (3 h) \cdot 1 + \tan (3 h) \tan^{2} (3 x)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Etapa 4.1.2.3.6.3

Fatore $\tan (3 h)$ de $\tan (3 h) \cdot 1 + \tan (3 h) \tan^{2} (3 x)$ .

$\frac{\frac{\tan (3 h) (1 + \tan^{2} (3 x))}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Etapa 4.1.2.3.7

Reorganize os termos.

$\frac{\frac{\tan (3 h) (\tan^{2} (3 x) + 1)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Etapa 4.1.2.3.8

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\frac{\tan (3 h) \sec^{2} (3 x)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}}{h}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\tan (3 h) \sec^{2} (3 x)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $\frac{\tan (3 h) \sec^{2} (3 x)}{1 - \tan (3 x) \tan (3 h)}$ por $\frac{1}{h}$ .

$\frac{\tan (3 h) \sec^{2} (3 x)}{(1 - \tan (3 x) \tan (3 h)) h}$

Etapa 4.2.3

Reordene os fatores em $\frac{\tan (3 h) \sec^{2} (3 x)}{(1 - \tan (3 x) \tan (3 h)) h}$ .

$\frac{\tan (3 h) \sec^{2} (3 x)}{h (1 - \tan (3 x) \tan (3 h))}$

Etapa 5