Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 5}{x + 1}$ ; $[- 8, - 4]$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{2 x^{2} - 5}{x + 1}$ como uma equação.

$y = \frac{2 x^{2} - 5}{x + 1}$

Etapa 2

Substitua usando a fórmula da taxa de variação média.

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Etapa 2.1

Para encontrar a taxa de variação média de uma função, calcula-se a variação nos valores de $y$ dos dois pontos e divide-se pela variação nos valores de $x$ dos dois pontos.

$\frac{f (- 4) - f (- 8)}{(- 4) - (- 8)}$

Etapa 2.2

Substitua a equação $y = \frac{2 x^{2} - 5}{x + 1}$ por $f (- 4)$ e $f (- 8)$ , substituindo $x$ na função pelo valor $x$ correspondente.

$\frac{(\frac{2 {(- 4)}^{2} - 5}{(- 4) + 1}) - (\frac{2 {(- 8)}^{2} - 5}{(- 8) + 1})}{(- 4) - (- 8)}$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $(- 4 + 1) (- 8 + 1)$ .

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Etapa 3.1.1

Multiplique $\frac{\frac{2 {(- 4)}^{2} - 5}{- 4 + 1} - \frac{2 {(- 8)}^{2} - 5}{- 8 + 1}}{- 4 - (- 8)}$ por $\frac{(- 4 + 1) (- 8 + 1)}{(- 4 + 1) (- 8 + 1)}$ .

$\frac{(- 4 + 1) (- 8 + 1)}{(- 4 + 1) (- 8 + 1)} \cdot \frac{\frac{2 {(- 4)}^{2} - 5}{- 4 + 1} - \frac{2 {(- 8)}^{2} - 5}{- 8 + 1}}{- 4 - (- 8)}$

Etapa 3.1.2

Combine.

$\frac{(- 4 + 1) (- 8 + 1) (\frac{2 {(- 4)}^{2} - 5}{- 4 + 1} - \frac{2 {(- 8)}^{2} - 5}{- 8 + 1})}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) (- 4 - (- 8))}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \frac{2 {(- 4)}^{2} - 5}{- 4 + 1} + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- \frac{2 {(- 8)}^{2} - 5}{- 8 + 1})}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Etapa 3.3

Simplifique cancelando.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $- 4 + 1$ .

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Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \frac{2 {(- 4)}^{2} - 5}{- 4 + 1} + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- \frac{2 {(- 8)}^{2} - 5}{- 8 + 1})}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(- 8 + 1) (2 {(- 4)}^{2} - 5) + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- \frac{2 {(- 8)}^{2} - 5}{- 8 + 1})}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $- 8 + 1$ .

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Etapa 3.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 {(- 8)}^{2} - 5}{- 8 + 1}$ para o numerador.

$\frac{(- 8 + 1) (2 {(- 4)}^{2} - 5) + (- 4 + 1) (- 8 + 1) \frac{- (2 {(- 8)}^{2} - 5)}{- 8 + 1}}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Etapa 3.3.2.2

Fatore $- 8 + 1$ de $(- 4 + 1) (- 8 + 1)$ .

$\frac{(- 8 + 1) (2 {(- 4)}^{2} - 5) + (- 8 + 1) (- 4 + 1) \frac{- (2 {(- 8)}^{2} - 5)}{- 8 + 1}}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Etapa 3.3.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{(- 8 + 1) (2 {(- 4)}^{2} - 5) + (- 8 + 1) (- 4 + 1) \frac{- (2 {(- 8)}^{2} - 5)}{- 8 + 1}}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Etapa 3.3.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{(- 8 + 1) (2 {(- 4)}^{2} - 5) + (- 4 + 1) (- (2 {(- 8)}^{2} - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Some $- 8$ e $1$ .

$\frac{- 7 (2 {(- 4)}^{2} - 5) + (- 4 + 1) (- (2 {(- 8)}^{2} - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Etapa 3.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.2.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$\frac{- 7 (2 \cdot 16 - 5) + (- 4 + 1) (- (2 {(- 8)}^{2} - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$\frac{- 7 (32 - 5) + (- 4 + 1) (- (2 {(- 8)}^{2} - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Etapa 3.4.3

Subtraia $5$ de $32$ .

$\frac{- 7 \cdot 27 + (- 4 + 1) (- (2 {(- 8)}^{2} - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Etapa 3.4.4

Multiplique $- 7$ por $27$ .

$\frac{- 189 + (- 4 + 1) (- (2 {(- 8)}^{2} - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Etapa 3.4.5

Some $- 4$ e $1$ .

$\frac{- 189 - 3 (- (2 {(- 8)}^{2} - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Etapa 3.4.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.6.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$\frac{- 189 - 3 (- (2 \cdot 64 - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Etapa 3.4.6.2

Multiplique $2$ por $64$ .

$\frac{- 189 - 3 (- (128 - 5))}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Etapa 3.4.7

Subtraia $5$ de $128$ .

$\frac{- 189 - 3 (- 1 \cdot 123)}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Etapa 3.4.8

Multiplique $- 3 (- 1 \cdot 123)$ .

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Etapa 3.4.8.1

Multiplique $- 1$ por $123$ .

$\frac{- 189 - 3 \cdot - 123}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Etapa 3.4.8.2

Multiplique $- 3$ por $- 123$ .

$\frac{- 189 + 369}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Etapa 3.4.9

Some $- 189$ e $369$ .

$\frac{180}{(- 4 + 1) (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Etapa 3.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.1

Some $- 4$ e $1$ .

$\frac{180}{- 3 (- 8 + 1) \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Etapa 3.5.2

Some $- 8$ e $1$ .

$\frac{180}{- 3 \cdot - 7 \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Etapa 3.5.3

Multiplique $- 3 \cdot - 7 \cdot - 4$ .

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Etapa 3.5.3.1

Multiplique $- 3$ por $- 7$ .

$\frac{180}{21 \cdot - 4 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Etapa 3.5.3.2

Multiplique $21$ por $- 4$ .

$\frac{180}{- 84 + (- 4 + 1) (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Etapa 3.5.4

Some $- 4$ e $1$ .

$\frac{180}{- 84 - 3 (- 8 + 1) (- (- 8))}$

Etapa 3.5.5

Some $- 8$ e $1$ .

$\frac{180}{- 84 - 3 \cdot - 7 (- (- 8))}$

Etapa 3.5.6

Multiplique $- 3 \cdot - 7 (- (- 8))$ .

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Etapa 3.5.6.1

Multiplique $- 3$ por $- 7$ .

$\frac{180}{- 84 + 21 (- (- 8))}$

Etapa 3.5.6.2

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$\frac{180}{- 84 + 21 \cdot 8}$

Etapa 3.5.6.3

Multiplique $21$ por $8$ .

$\frac{180}{- 84 + 168}$

Etapa 3.5.7

Some $- 84$ e $168$ .

$\frac{180}{84}$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de $180$ e $84$ .

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Etapa 3.6.1

Fatore $12$ de $180$ .

$\frac{12 (15)}{84}$

Etapa 3.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.6.2.1

Fatore $12$ de $84$ .

$\frac{12 \cdot 15}{12 \cdot 7}$

Etapa 3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{12 \cdot 15}{12 \cdot 7}$

Etapa 3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{15}{7}$